MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cdaenun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdaenun 8941
Description: Cardinal addition is equinumerous to union for disjoint sets. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cdaenun ((𝐴𝐵𝐶𝐷 ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝐴 +𝑐 𝐶) ≈ (𝐵𝐷))

Proof of Theorem cdaenun
StepHypRef Expression
1 cdaen 8940 . . 3 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴 +𝑐 𝐶) ≈ (𝐵 +𝑐 𝐷))
213adant3 1079 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐷 ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝐴 +𝑐 𝐶) ≈ (𝐵 +𝑐 𝐷))
3 relen 7905 . . . 4 Rel ≈
43brrelex2i 5124 . . 3 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
53brrelex2i 5124 . . 3 (𝐶𝐷𝐷 ∈ V)
6 id 22 . . 3 ((𝐵𝐷) = ∅ → (𝐵𝐷) = ∅)
7 cdaun 8939 . . 3 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝐵 +𝑐 𝐷) ≈ (𝐵𝐷))
84, 5, 6, 7syl3an 1365 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐷 ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝐵 +𝑐 𝐷) ≈ (𝐵𝐷))
9 entr 7953 . 2 (((𝐴 +𝑐 𝐶) ≈ (𝐵 +𝑐 𝐷) ∧ (𝐵 +𝑐 𝐷) ≈ (𝐵𝐷)) → (𝐴 +𝑐 𝐶) ≈ (𝐵𝐷))
102, 8, 9syl2anc 692 1 ((𝐴𝐵𝐶𝐷 ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝐴 +𝑐 𝐶) ≈ (𝐵𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  Vcvv 3191  cun 3558  cin 3559  c0 3896   class class class wbr 4618  (class class class)co 6605  cen 7897   +𝑐 ccda 8934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-ord 5688  df-on 5689  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-1o 7506  df-er 7688  df-en 7901  df-cda 8935
This theorem is referenced by:  cda1en  8942  cdacomen  8948  cdaassen  8949  xpcdaen  8950  onacda  8964  pwxpndom2  9432
  Copyright terms: Public domain W3C validator