MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cdafi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdafi 8956
Description: The cardinal sum of two finite sets is finite. (Contributed by NM, 22-Oct-2004.)
Assertion
Ref Expression
cdafi ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≺ ω)

Proof of Theorem cdafi
StepHypRef Expression
1 relsdom 7906 . . . 4 Rel ≺
21brrelexi 5118 . . 3 (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ V)
31brrelexi 5118 . . 3 (𝐵 ≺ ω → 𝐵 ∈ V)
4 cdaval 8936 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 +𝑐 𝐵) = ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
52, 3, 4syl2an 494 . 2 ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴 +𝑐 𝐵) = ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
6 0elon 5737 . . . . . 6 ∅ ∈ On
7 xpsneng 7989 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ ∅ ∈ On) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
82, 6, 7sylancl 693 . . . . 5 (𝐴 ≺ ω → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
9 sdomen1 8048 . . . . 5 ((𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴 → ((𝐴 × {∅}) ≺ ω ↔ 𝐴 ≺ ω))
108, 9syl 17 . . . 4 (𝐴 ≺ ω → ((𝐴 × {∅}) ≺ ω ↔ 𝐴 ≺ ω))
1110ibir 257 . . 3 (𝐴 ≺ ω → (𝐴 × {∅}) ≺ ω)
12 1on 7512 . . . . . 6 1𝑜 ∈ On
13 xpsneng 7989 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ V ∧ 1𝑜 ∈ On) → (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵)
143, 12, 13sylancl 693 . . . . 5 (𝐵 ≺ ω → (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵)
15 sdomen1 8048 . . . . 5 ((𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵 → ((𝐵 × {1𝑜}) ≺ ω ↔ 𝐵 ≺ ω))
1614, 15syl 17 . . . 4 (𝐵 ≺ ω → ((𝐵 × {1𝑜}) ≺ ω ↔ 𝐵 ≺ ω))
1716ibir 257 . . 3 (𝐵 ≺ ω → (𝐵 × {1𝑜}) ≺ ω)
18 unfi2 8173 . . 3 (((𝐴 × {∅}) ≺ ω ∧ (𝐵 × {1𝑜}) ≺ ω) → ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})) ≺ ω)
1911, 17, 18syl2an 494 . 2 ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})) ≺ ω)
205, 19eqbrtrd 4635 1 ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≺ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  cun 3553  c0 3891  {csn 4148   class class class wbr 4613   × cxp 5072  Oncon0 5682  (class class class)co 6604  ωcom 7012  1𝑜c1o 7498  cen 7896  csdm 7898   +𝑐 ccda 8933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-cda 8934
This theorem is referenced by:  canthp1lem2  9419
  Copyright terms: Public domain W3C validator