MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cdainflem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdainflem 9601
Description: Any partition of omega into two pieces (which may be disjoint) contains an infinite subset. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
cdainflem ((𝐴𝐵) ≈ ω → (𝐴 ≈ ω ∨ 𝐵 ≈ ω))

Proof of Theorem cdainflem
StepHypRef Expression
1 unfi2 8775 . . . 4 ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴𝐵) ≺ ω)
2 sdomnen 8526 . . . 4 ((𝐴𝐵) ≺ ω → ¬ (𝐴𝐵) ≈ ω)
31, 2syl 17 . . 3 ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → ¬ (𝐴𝐵) ≈ ω)
43con2i 141 . 2 ((𝐴𝐵) ≈ ω → ¬ (𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω))
5 ianor 975 . . 3 (¬ (𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) ↔ (¬ 𝐴 ≺ ω ∨ ¬ 𝐵 ≺ ω))
6 relen 8502 . . . . . . . . . 10 Rel ≈
76brrelex1i 5601 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) ≈ ω → (𝐴𝐵) ∈ V)
8 ssun1 4145 . . . . . . . . 9 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
9 ssdomg 8543 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) ∈ V → (𝐴 ⊆ (𝐴𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐵)))
107, 8, 9mpisyl 21 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵) ≈ ω → 𝐴 ≼ (𝐴𝐵))
11 domentr 8556 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≼ (𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) ≈ ω) → 𝐴 ≼ ω)
1210, 11mpancom 684 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ≈ ω → 𝐴 ≼ ω)
1312anim1i 614 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) ≈ ω ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω) → (𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω))
14 bren2 8528 . . . . . 6 (𝐴 ≈ ω ↔ (𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω))
1513, 14sylibr 235 . . . . 5 (((𝐴𝐵) ≈ ω ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω) → 𝐴 ≈ ω)
1615ex 413 . . . 4 ((𝐴𝐵) ≈ ω → (¬ 𝐴 ≺ ω → 𝐴 ≈ ω))
17 ssun2 4146 . . . . . . . . 9 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
18 ssdomg 8543 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) ∈ V → (𝐵 ⊆ (𝐴𝐵) → 𝐵 ≼ (𝐴𝐵)))
197, 17, 18mpisyl 21 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵) ≈ ω → 𝐵 ≼ (𝐴𝐵))
20 domentr 8556 . . . . . . . 8 ((𝐵 ≼ (𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) ≈ ω) → 𝐵 ≼ ω)
2119, 20mpancom 684 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ≈ ω → 𝐵 ≼ ω)
2221anim1i 614 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) ≈ ω ∧ ¬ 𝐵 ≺ ω) → (𝐵 ≼ ω ∧ ¬ 𝐵 ≺ ω))
23 bren2 8528 . . . . . 6 (𝐵 ≈ ω ↔ (𝐵 ≼ ω ∧ ¬ 𝐵 ≺ ω))
2422, 23sylibr 235 . . . . 5 (((𝐴𝐵) ≈ ω ∧ ¬ 𝐵 ≺ ω) → 𝐵 ≈ ω)
2524ex 413 . . . 4 ((𝐴𝐵) ≈ ω → (¬ 𝐵 ≺ ω → 𝐵 ≈ ω))
2616, 25orim12d 958 . . 3 ((𝐴𝐵) ≈ ω → ((¬ 𝐴 ≺ ω ∨ ¬ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴 ≈ ω ∨ 𝐵 ≈ ω)))
275, 26syl5bi 243 . 2 ((𝐴𝐵) ≈ ω → (¬ (𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴 ≈ ω ∨ 𝐵 ≈ ω)))
284, 27mpd 15 1 ((𝐴𝐵) ≈ ω → (𝐴 ≈ ω ∨ 𝐵 ≈ ω))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 841  wcel 2105  Vcvv 3492  cun 3931  wss 3933   class class class wbr 5057  ωcom 7569  cen 8494  cdom 8495  csdm 8496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501
This theorem is referenced by:  djuinf  9602
  Copyright terms: Public domain W3C validator