MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cdalepw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdalepw 8962
Description: If 𝐴 is idempotent under cardinal sum and 𝐵 is dominated by the power set of 𝐴, then so is the cardinal sum of 𝐴 and 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
cdalepw (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem cdalepw
StepHypRef Expression
1 oveq1 6611 . . 3 (𝐴 = ∅ → (𝐴 +𝑐 𝐵) = (∅ +𝑐 𝐵))
21breq1d 4623 . 2 (𝐴 = ∅ → ((𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴 ↔ (∅ +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴))
3 relen 7904 . . . . . . . . 9 Rel ≈
43brrelex2i 5119 . . . . . . . 8 ((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐴 ∈ V)
54adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
6 canth2g 8058 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
7 sdomdom 7927 . . . . . . 7 (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
85, 6, 73syl 18 . . . . . 6 (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
9 simpr 477 . . . . . 6 (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)
10 cdadom1 8952 . . . . . . 7 (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵))
11 cdadom2 8953 . . . . . . 7 (𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
12 domtr 7953 . . . . . . 7 (((𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ∧ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴)) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
1310, 11, 12syl2an 494 . . . . . 6 ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
148, 9, 13syl2anc 692 . . . . 5 (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
15 pwcda1 8960 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜))
165, 15syl 17 . . . . 5 (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜))
17 domentr 7959 . . . . 5 (((𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜)) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜))
1814, 16, 17syl2anc 692 . . . 4 (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜))
1918adantr 481 . . 3 ((((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜))
20 0sdomg 8033 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
215, 20syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
2221biimpar 502 . . . . . . 7 ((((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
23 0sdom1dom 8102 . . . . . . 7 (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1𝑜𝐴)
2422, 23sylib 208 . . . . . 6 ((((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 1𝑜𝐴)
25 cdadom2 8953 . . . . . 6 (1𝑜𝐴 → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
2624, 25syl 17 . . . . 5 ((((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
27 simpll 789 . . . . 5 ((((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴)
28 domentr 7959 . . . . 5 (((𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝐴)
2926, 27, 28syl2anc 692 . . . 4 ((((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝐴)
30 pwdom 8056 . . . 4 ((𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
3129, 30syl 17 . . 3 ((((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
32 domtr 7953 . . 3 (((𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ∧ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
3319, 31, 32syl2anc 692 . 2 ((((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
34 cdacomen 8947 . . 3 (∅ +𝑐 𝐵) ≈ (𝐵 +𝑐 ∅)
35 reldom 7905 . . . . . . 7 Rel ≼
3635brrelexi 5118 . . . . . 6 (𝐵 ≼ 𝒫 𝐴𝐵 ∈ V)
3736adantl 482 . . . . 5 (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
38 cda0en 8945 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (𝐵 +𝑐 ∅) ≈ 𝐵)
39 domen1 8046 . . . . 5 ((𝐵 +𝑐 ∅) ≈ 𝐵 → ((𝐵 +𝑐 ∅) ≼ 𝒫 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴))
4037, 38, 393syl 18 . . . 4 (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → ((𝐵 +𝑐 ∅) ≼ 𝒫 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴))
419, 40mpbird 247 . . 3 (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐵 +𝑐 ∅) ≼ 𝒫 𝐴)
42 endomtr 7958 . . 3 (((∅ +𝑐 𝐵) ≈ (𝐵 +𝑐 ∅) ∧ (𝐵 +𝑐 ∅) ≼ 𝒫 𝐴) → (∅ +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
4334, 41, 42sylancr 694 . 2 (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (∅ +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
442, 33, 43pm2.61ne 2875 1 (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3186  c0 3891  𝒫 cpw 4130   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  1𝑜c1o 7498  cen 7896  cdom 7897  csdm 7898   +𝑐 ccda 8933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-1o 7505  df-2o 7506  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-cda 8934
This theorem is referenced by:  gchdomtri  9395
  Copyright terms: Public domain W3C validator