Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cdaun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdaun 8939
 Description: Cardinal addition is equinumerous to union for disjoint sets. (Contributed by NM, 5-Apr-2007.)
Assertion
Ref Expression
cdaun ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ (𝐴𝐵))

Proof of Theorem cdaun
StepHypRef Expression
1 cdaval 8937 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 +𝑐 𝐵) = ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
213adant3 1079 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴 +𝑐 𝐵) = ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
3 0ex 4755 . . . . . 6 ∅ ∈ V
4 xpsneng 7990 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
53, 4mpan2 706 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
6 1on 7513 . . . . . 6 1𝑜 ∈ On
7 xpsneng 7990 . . . . . 6 ((𝐵𝑊 ∧ 1𝑜 ∈ On) → (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵)
86, 7mpan2 706 . . . . 5 (𝐵𝑊 → (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵)
95, 8anim12i 589 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴 ∧ (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵))
10 xp01disj 7522 . . . . 5 ((𝐴 × {∅}) ∩ (𝐵 × {1𝑜})) = ∅
1110jctl 563 . . . 4 ((𝐴𝐵) = ∅ → (((𝐴 × {∅}) ∩ (𝐵 × {1𝑜})) = ∅ ∧ (𝐴𝐵) = ∅))
12 unen 7985 . . . 4 ((((𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴 ∧ (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵) ∧ (((𝐴 × {∅}) ∩ (𝐵 × {1𝑜})) = ∅ ∧ (𝐴𝐵) = ∅)) → ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})) ≈ (𝐴𝐵))
139, 11, 12syl2an 494 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})) ≈ (𝐴𝐵))
14133impa 1256 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})) ≈ (𝐴𝐵))
152, 14eqbrtrd 4640 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ (𝐴𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1992  Vcvv 3191   ∪ cun 3558   ∩ cin 3559  ∅c0 3896  {csn 4153   class class class wbr 4618   × cxp 5077  Oncon0 5685  (class class class)co 6605  1𝑜c1o 7499   ≈ cen 7897   +𝑐 ccda 8934 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-ord 5688  df-on 5689  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-1o 7506  df-en 7901  df-cda 8935 This theorem is referenced by:  cdaenun  8941  cda0en  8946  ficardun  8969  ackbij1lem9  8995  canthp1lem1  9419
 Copyright terms: Public domain W3C validator