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Theorem cdj3lem1 29421
Description: A property of "𝐴 and 𝐵 are completely disjoint subspaces." Part of Lemma 5 of [Holland] p. 1520. (Contributed by NM, 23-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdj1.1 𝐴S
cdj1.2 𝐵S
Assertion
Ref Expression
cdj3lem1 (∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧)))) → (𝐴𝐵) = 0)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧

Proof of Theorem cdj3lem1
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3829 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑤𝐴𝑤𝐵))
2 cdj1.2 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵S
3 neg1cn 11162 . . . . . . . . . . . . . 14 -1 ∈ ℂ
4 shmulcl 28203 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵S ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝐵) → (-1 · 𝑤) ∈ 𝐵)
52, 3, 4mp3an12 1454 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤𝐵 → (-1 · 𝑤) ∈ 𝐵)
65anim2i 592 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤𝐴𝑤𝐵) → (𝑤𝐴 ∧ (-1 · 𝑤) ∈ 𝐵))
71, 6sylbi 207 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) → (𝑤𝐴 ∧ (-1 · 𝑤) ∈ 𝐵))
8 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑤 → (norm𝑦) = (norm𝑤))
98oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑤 → ((norm𝑦) + (norm𝑧)) = ((norm𝑤) + (norm𝑧)))
10 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 + 𝑧) = (𝑤 + 𝑧))
1110fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑤 → (norm‘(𝑦 + 𝑧)) = (norm‘(𝑤 + 𝑧)))
1211oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑤 → (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧))) = (𝑥 · (norm‘(𝑤 + 𝑧))))
139, 12breq12d 4698 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑤 → (((norm𝑦) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧))) ↔ ((norm𝑤) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑤 + 𝑧)))))
14 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (-1 · 𝑤) → (norm𝑧) = (norm‘(-1 · 𝑤)))
1514oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (-1 · 𝑤) → ((norm𝑤) + (norm𝑧)) = ((norm𝑤) + (norm‘(-1 · 𝑤))))
16 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (-1 · 𝑤) → (𝑤 + 𝑧) = (𝑤 + (-1 · 𝑤)))
1716fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (-1 · 𝑤) → (norm‘(𝑤 + 𝑧)) = (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤))))
1817oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (-1 · 𝑤) → (𝑥 · (norm‘(𝑤 + 𝑧))) = (𝑥 · (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤)))))
1915, 18breq12d 4698 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (-1 · 𝑤) → (((norm𝑤) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑤 + 𝑧))) ↔ ((norm𝑤) + (norm‘(-1 · 𝑤))) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤))))))
2013, 19rspc2v 3353 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤𝐴 ∧ (-1 · 𝑤) ∈ 𝐵) → (∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧))) → ((norm𝑤) + (norm‘(-1 · 𝑤))) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤))))))
217, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) → (∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧))) → ((norm𝑤) + (norm‘(-1 · 𝑤))) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤))))))
2221adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝐵)) → (∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧))) → ((norm𝑤) + (norm‘(-1 · 𝑤))) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤))))))
23 cdj1.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐴S
2423, 2shincli 28349 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵) ∈ S
2524sheli 28199 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑤 ∈ ℋ)
26 normneg 28129 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ℋ → (norm‘(-1 · 𝑤)) = (norm𝑤))
2726oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ℋ → ((norm𝑤) + (norm‘(-1 · 𝑤))) = ((norm𝑤) + (norm𝑤)))
28 normcl 28110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ ℋ → (norm𝑤) ∈ ℝ)
2928recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ℋ → (norm𝑤) ∈ ℂ)
30292timesd 11313 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ℋ → (2 · (norm𝑤)) = ((norm𝑤) + (norm𝑤)))
3127, 30eqtr4d 2688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ℋ → ((norm𝑤) + (norm‘(-1 · 𝑤))) = (2 · (norm𝑤)))
3231adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((norm𝑤) + (norm‘(-1 · 𝑤))) = (2 · (norm𝑤)))
33 hvnegid 28012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℋ → (𝑤 + (-1 · 𝑤)) = 0)
3433fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ ℋ → (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤))) = (norm‘0))
35 norm0 28113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (norm‘0) = 0
3634, 35syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ℋ → (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤))) = 0)
3736oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ℋ → (𝑥 · (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤)))) = (𝑥 · 0))
38 recn 10064 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
3938mul01d 10273 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 · 0) = 0)
4037, 39sylan9eqr 2707 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 · (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤)))) = 0)
41 2t0e0 11221 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 0) = 0
4240, 41syl6eqr 2703 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 · (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤)))) = (2 · 0))
4332, 42breq12d 4698 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (((norm𝑤) + (norm‘(-1 · 𝑤))) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤)))) ↔ (2 · (norm𝑤)) ≤ (2 · 0)))
44 0re 10078 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
45 letri3 10161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((norm𝑤) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((norm𝑤) = 0 ↔ ((norm𝑤) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (norm𝑤))))
4628, 44, 45sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ℋ → ((norm𝑤) = 0 ↔ ((norm𝑤) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (norm𝑤))))
47 normge0 28111 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ℋ → 0 ≤ (norm𝑤))
4847biantrud 527 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ℋ → ((norm𝑤) ≤ 0 ↔ ((norm𝑤) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (norm𝑤))))
49 2re 11128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
50 2pos 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 2
5149, 50pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
52 lemul2 10914 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((norm𝑤) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((norm𝑤) ≤ 0 ↔ (2 · (norm𝑤)) ≤ (2 · 0)))
5344, 51, 52mp3an23 1456 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((norm𝑤) ∈ ℝ → ((norm𝑤) ≤ 0 ↔ (2 · (norm𝑤)) ≤ (2 · 0)))
5428, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ℋ → ((norm𝑤) ≤ 0 ↔ (2 · (norm𝑤)) ≤ (2 · 0)))
5546, 48, 543bitr2rd 297 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ℋ → ((2 · (norm𝑤)) ≤ (2 · 0) ↔ (norm𝑤) = 0))
56 norm-i 28114 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ℋ → ((norm𝑤) = 0 ↔ 𝑤 = 0))
5755, 56bitrd 268 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℋ → ((2 · (norm𝑤)) ≤ (2 · 0) ↔ 𝑤 = 0))
5857adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((2 · (norm𝑤)) ≤ (2 · 0) ↔ 𝑤 = 0))
5943, 58bitrd 268 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (((norm𝑤) + (norm‘(-1 · 𝑤))) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤)))) ↔ 𝑤 = 0))
6025, 59sylan2 490 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝐵)) → (((norm𝑤) + (norm‘(-1 · 𝑤))) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤)))) ↔ 𝑤 = 0))
6122, 60sylibd 229 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝐵)) → (∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧))) → 𝑤 = 0))
6261impancom 455 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧)))) → (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑤 = 0))
63 elch0 28239 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ 0𝑤 = 0)
6462, 63syl6ibr 242 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧)))) → (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑤 ∈ 0))
6564ssrdv 3642 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧)))) → (𝐴𝐵) ⊆ 0)
6665ex 449 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧))) → (𝐴𝐵) ⊆ 0))
67 shle0 28429 . . . . 5 ((𝐴𝐵) ∈ S → ((𝐴𝐵) ⊆ 0 ↔ (𝐴𝐵) = 0))
6824, 67ax-mp 5 . . . 4 ((𝐴𝐵) ⊆ 0 ↔ (𝐴𝐵) = 0)
6966, 68syl6ib 241 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧))) → (𝐴𝐵) = 0))
7069adantld 482 . 2 (𝑥 ∈ ℝ → ((0 < 𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧)))) → (𝐴𝐵) = 0))
7170rexlimiv 3056 1 (∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧)))) → (𝐴𝐵) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  cin 3606  wss 3607   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  -cneg 10305  2c2 11108  chil 27904   + cva 27905   · csm 27906  normcno 27908  0c0v 27909   S csh 27913  0c0h 27920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hvcom 27986  ax-hv0cl 27988  ax-hvaddid 27989  ax-hfvmul 27990  ax-hvmulid 27991  ax-hvmulass 27992  ax-hvdistr1 27993  ax-hvdistr2 27994  ax-hvmul0 27995  ax-hfi 28064  ax-his1 28067  ax-his3 28069  ax-his4 28070
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-hnorm 27953  df-hvsub 27956  df-sh 28192  df-ch0 28238
This theorem is referenced by:  cdj3lem2b  29424  cdj3i  29428
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