Theorem cdj3lem2a 30215

Description: Lemma for cdj3i 30220. Closure of the first-component function 𝑆. (Contributed by NM, 25-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdj3lem2.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
cdj3lem2.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
cdj3lem2.3	⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↦ (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))

Assertion

Ref	Expression
cdj3lem2a	⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑆‘𝐶) ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑤,𝐴   𝑥,𝐵,𝑧,𝑤   𝑥,𝐶,𝑧,𝑤

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem cdj3lem2a

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdj3lem2.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2		cdj3lem2.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
3	1, 2	shseli 29095	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑣 +ℎ 𝑢))
4		cdj3lem2.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↦ (℩𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
5	1, 2, 4	cdj3lem2 30214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑆‘(𝑣 +ℎ 𝑢)) = 𝑣)
6		simp1 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → 𝑣 ∈ 𝐴)
7	5, 6	eqeltrd 2915	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑆‘(𝑣 +ℎ 𝑢)) ∈ 𝐴)
8	7	3expa 1114	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑆‘(𝑣 +ℎ 𝑢)) ∈ 𝐴)
9		fveq2 6672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → (𝑆‘𝐶) = (𝑆‘(𝑣 +ℎ 𝑢)))
10	9	eleq1d 2899	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → ((𝑆‘𝐶) ∈ 𝐴 ↔ (𝑆‘(𝑣 +ℎ 𝑢)) ∈ 𝐴))
11	8, 10	syl5ibr 248	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → (((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑆‘𝐶) ∈ 𝐴))
12	11	expd 418	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ → (𝑆‘𝐶) ∈ 𝐴)))
13	12	com13 88	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ → ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝐶 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → (𝑆‘𝐶) ∈ 𝐴)))
14	13	rexlimdvv 3295	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ → (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → (𝑆‘𝐶) ∈ 𝐴))
15	3, 14	syl5bi 244	. 2 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ → (𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑆‘𝐶) ∈ 𝐴))
16	15	impcom 410	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑆‘𝐶) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3141   ∩ cin 3937   ↦ cmpt 5148  ‘cfv 6357  ℩crio 7115  (class class class)co 7158   +_ℎ cva 28699   S_ℋ csh 28707   +_ℋ cph 28710  0_ℋc0h 28714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-hilex 28778  ax-hfvadd 28779  ax-hvcom 28780  ax-hvass 28781  ax-hv0cl 28782  ax-hvaddid 28783  ax-hfvmul 28784  ax-hvmulid 28785  ax-hvmulass 28786  ax-hvdistr1 28787  ax-hvdistr2 28788  ax-hvmul0 28789

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-grpo 28272  df-ablo 28324  df-hvsub 28750  df-sh 28986  df-ch0 29032  df-shs 29087

This theorem is referenced by: (None)