HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cdj3lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdj3lem3 29425
Description: Lemma for cdj3i 29428. Value of the second-component function 𝑇. (Contributed by NM, 23-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdj3lem2.1 𝐴S
cdj3lem2.2 𝐵S
cdj3lem3.3 𝑇 = (𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↦ (𝑤𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)))
Assertion
Ref Expression
cdj3lem3 ((𝐶𝐴𝐷𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝑇‘(𝐶 + 𝐷)) = 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑤,𝐴   𝑥,𝐵,𝑧,𝑤   𝑥,𝐶,𝑧,𝑤   𝑥,𝐷,𝑧,𝑤
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem cdj3lem3
StepHypRef Expression
1 incom 3838 . . . 4 (𝐴𝐵) = (𝐵𝐴)
21eqeq1i 2656 . . 3 ((𝐴𝐵) = 0 ↔ (𝐵𝐴) = 0)
3 cdj3lem2.2 . . . . . . . 8 𝐵S
43sheli 28199 . . . . . . 7 (𝐷𝐵𝐷 ∈ ℋ)
5 cdj3lem2.1 . . . . . . . 8 𝐴S
65sheli 28199 . . . . . . 7 (𝐶𝐴𝐶 ∈ ℋ)
7 ax-hvcom 27986 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐷 + 𝐶) = (𝐶 + 𝐷))
84, 6, 7syl2an 493 . . . . . 6 ((𝐷𝐵𝐶𝐴) → (𝐷 + 𝐶) = (𝐶 + 𝐷))
98fveq2d 6233 . . . . 5 ((𝐷𝐵𝐶𝐴) → (𝑇‘(𝐷 + 𝐶)) = (𝑇‘(𝐶 + 𝐷)))
1093adant3 1101 . . . 4 ((𝐷𝐵𝐶𝐴 ∧ (𝐵𝐴) = 0) → (𝑇‘(𝐷 + 𝐶)) = (𝑇‘(𝐶 + 𝐷)))
11 cdj3lem3.3 . . . . . 6 𝑇 = (𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↦ (𝑤𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)))
123, 5shscomi 28350 . . . . . . 7 (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)
133sheli 28199 . . . . . . . . . . 11 (𝑤𝐵𝑤 ∈ ℋ)
145sheli 28199 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝐴𝑧 ∈ ℋ)
15 ax-hvcom 27986 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑤 + 𝑧) = (𝑧 + 𝑤))
1613, 14, 15syl2an 493 . . . . . . . . . 10 ((𝑤𝐵𝑧𝐴) → (𝑤 + 𝑧) = (𝑧 + 𝑤))
1716eqeq2d 2661 . . . . . . . . 9 ((𝑤𝐵𝑧𝐴) → (𝑥 = (𝑤 + 𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)))
1817rexbidva 3078 . . . . . . . 8 (𝑤𝐵 → (∃𝑧𝐴 𝑥 = (𝑤 + 𝑧) ↔ ∃𝑧𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)))
1918riotabiia 6668 . . . . . . 7 (𝑤𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑤 + 𝑧)) = (𝑤𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑤))
2012, 19mpteq12i 4775 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐵 + 𝐴) ↦ (𝑤𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑤 + 𝑧))) = (𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↦ (𝑤𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)))
2111, 20eqtr4i 2676 . . . . 5 𝑇 = (𝑥 ∈ (𝐵 + 𝐴) ↦ (𝑤𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑤 + 𝑧)))
223, 5, 21cdj3lem2 29422 . . . 4 ((𝐷𝐵𝐶𝐴 ∧ (𝐵𝐴) = 0) → (𝑇‘(𝐷 + 𝐶)) = 𝐷)
2310, 22eqtr3d 2687 . . 3 ((𝐷𝐵𝐶𝐴 ∧ (𝐵𝐴) = 0) → (𝑇‘(𝐶 + 𝐷)) = 𝐷)
242, 23syl3an3b 1404 . 2 ((𝐷𝐵𝐶𝐴 ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝑇‘(𝐶 + 𝐷)) = 𝐷)
25243com12 1288 1 ((𝐶𝐴𝐷𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝑇‘(𝐶 + 𝐷)) = 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wrex 2942  cin 3606  cmpt 4762  cfv 5926  crio 6650  (class class class)co 6690  chil 27904   + cva 27905   S csh 27913   + cph 27916  0c0h 27920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hvcom 27986  ax-hvass 27987  ax-hv0cl 27988  ax-hvaddid 27989  ax-hfvmul 27990  ax-hvmulid 27991  ax-hvmulass 27992  ax-hvdistr1 27993  ax-hvdistr2 27994  ax-hvmul0 27995
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-grpo 27475  df-ablo 27527  df-hvsub 27956  df-sh 28192  df-ch0 28238  df-shs 28295
This theorem is referenced by:  cdj3lem3a  29426  cdj3i  29428
  Copyright terms: Public domain W3C validator