Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemd9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemd9 35811
Description: Part of proof of Lemma D in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 2-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemd4.l = (le‘𝐾)
cdlemd4.j = (join‘𝐾)
cdlemd4.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemd4.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemd4.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemd9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) → (𝐹𝑅) = (𝐺𝑅))

Proof of Theorem cdlemd9
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1084 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴))
2 simpl2 1085 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
3 simpl3 1086 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃))
4 simpr 476 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → (𝐹𝑃) = 𝑃)
5 cdlemd4.l . . . 4 = (le‘𝐾)
6 cdlemd4.j . . . 4 = (join‘𝐾)
7 cdlemd4.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8 cdlemd4.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9 cdlemd4.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
105, 6, 7, 8, 9cdlemd8 35810 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃)) → (𝐹𝑅) = (𝐺𝑅))
111, 2, 3, 4, 10syl112anc 1370 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → (𝐹𝑅) = (𝐺𝑅))
12 simpl11 1156 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
13 simpl2 1085 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
14 simp12l 1194 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) → 𝐹𝑇)
1514adantr 480 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → 𝐹𝑇)
165, 7, 8, 9ltrnel 35743 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
1712, 15, 13, 16syl3anc 1366 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
18 simpr 476 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)
1918necomd 2878 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → 𝑃 ≠ (𝐹𝑃))
205, 6, 7, 8cdlemb2 35645 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊)) ∧ 𝑃 ≠ (𝐹𝑃)) → ∃𝑠𝐴𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 (𝐹𝑃))))
2112, 13, 17, 19, 20syl121anc 1371 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → ∃𝑠𝐴𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 (𝐹𝑃))))
22 simp1l1 1174 . . . . 5 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) ∧ 𝑠𝐴 ∧ (¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 (𝐹𝑃)))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴))
23 simp1l2 1175 . . . . 5 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) ∧ 𝑠𝐴 ∧ (¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 (𝐹𝑃)))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
24 simp2 1082 . . . . . 6 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) ∧ 𝑠𝐴 ∧ (¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 (𝐹𝑃)))) → 𝑠𝐴)
25 simp3l 1109 . . . . . 6 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) ∧ 𝑠𝐴 ∧ (¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 (𝐹𝑃)))) → ¬ 𝑠 𝑊)
2624, 25jca 553 . . . . 5 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) ∧ 𝑠𝐴 ∧ (¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 (𝐹𝑃)))) → (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 𝑊))
27 simp1l3 1176 . . . . 5 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) ∧ 𝑠𝐴 ∧ (¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 (𝐹𝑃)))) → (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃))
28 simp3r 1110 . . . . 5 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) ∧ 𝑠𝐴 ∧ (¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 (𝐹𝑃)))) → ¬ 𝑠 (𝑃 (𝐹𝑃)))
295, 6, 7, 8, 9cdlemd7 35809 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 (𝐹𝑃)))) → (𝐹𝑅) = (𝐺𝑅))
3022, 23, 26, 27, 28, 29syl122anc 1375 . . . 4 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) ∧ 𝑠𝐴 ∧ (¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 (𝐹𝑃)))) → (𝐹𝑅) = (𝐺𝑅))
3130rexlimdv3a 3062 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → (∃𝑠𝐴𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 (𝐹𝑃))) → (𝐹𝑅) = (𝐺𝑅)))
3221, 31mpd 15 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → (𝐹𝑅) = (𝐺𝑅))
3311, 32pm2.61dane 2910 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) → (𝐹𝑅) = (𝐺𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  lecple 15995  joincjn 16991  Atomscatm 34868  HLchlt 34955  LHypclh 35588  LTrncltrn 35705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-map 7901  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-llines 35102  df-psubsp 35107  df-pmap 35108  df-padd 35400  df-lhyp 35592  df-laut 35593  df-ldil 35708  df-ltrn 35709  df-trl 35764
This theorem is referenced by:  cdlemd  35812
  Copyright terms: Public domain W3C validator