Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme0ex2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme0ex2N 34323
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Note that (𝑃 𝑢) = (𝑄 𝑢) is a shorter way to express 𝑢𝑃𝑢𝑄𝑢 (𝑃 𝑄). (Contributed by NM, 9-Nov-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme0.l = (le‘𝐾)
cdleme0.j = (join‘𝐾)
cdleme0.m = (meet‘𝐾)
cdleme0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme0.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdleme0ex2N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → ∃𝑢𝐴 ((𝑃 𝑢) = (𝑄 𝑢) ∧ 𝑢 𝑊))
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,   𝑢,   𝑢,𝑃   𝑢,𝑄   𝑢,𝑈   𝑢,𝑊   𝑢,𝐻   𝑢,𝐾
Allowed substitution hint:   (𝑢)

Proof of Theorem cdleme0ex2N
StepHypRef Expression
1 simp1 1054 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp2l 1080 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
3 simp2rl 1123 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑄𝐴)
4 simp3 1056 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑃𝑄)
5 cdleme0.l . . . 4 = (le‘𝐾)
6 cdleme0.j . . . 4 = (join‘𝐾)
7 cdleme0.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
8 cdleme0.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9 cdleme0.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10 cdleme0.u . . . 4 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
115, 6, 7, 8, 9, 10cdleme0ex1N 34322 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑢 𝑊))
121, 2, 3, 4, 11syl121anc 1323 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑢 𝑊))
13 simp11l 1165 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
14 hlcvl 33458 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CvLat)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → 𝐾 ∈ CvLat)
16 simp2ll 1121 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑃𝐴)
17163ad2ant1 1075 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → 𝑃𝐴)
1833ad2ant1 1075 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → 𝑄𝐴)
19 simp2 1055 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → 𝑢𝐴)
20 simp13 1086 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → 𝑃𝑄)
218, 5, 6cvlsupr2 33442 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑢𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → ((𝑃 𝑢) = (𝑄 𝑢) ↔ (𝑢𝑃𝑢𝑄𝑢 (𝑃 𝑄))))
2215, 17, 18, 19, 20, 21syl131anc 1331 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → ((𝑃 𝑢) = (𝑄 𝑢) ↔ (𝑢𝑃𝑢𝑄𝑢 (𝑃 𝑄))))
23 simp3 1056 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → 𝑢 𝑊)
24 simp2lr 1122 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → ¬ 𝑃 𝑊)
25243ad2ant1 1075 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → ¬ 𝑃 𝑊)
26 nbrne2 4598 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 𝑊 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) → 𝑢𝑃)
2723, 25, 26syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → 𝑢𝑃)
28 simp2rr 1124 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → ¬ 𝑄 𝑊)
29283ad2ant1 1075 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → ¬ 𝑄 𝑊)
30 nbrne2 4598 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 𝑊 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) → 𝑢𝑄)
3123, 29, 30syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → 𝑢𝑄)
3227, 31jca 553 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → (𝑢𝑃𝑢𝑄))
3332biantrurd 528 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → (𝑢 (𝑃 𝑄) ↔ ((𝑢𝑃𝑢𝑄) ∧ 𝑢 (𝑃 𝑄))))
34 df-3an 1033 . . . . . . 7 ((𝑢𝑃𝑢𝑄𝑢 (𝑃 𝑄)) ↔ ((𝑢𝑃𝑢𝑄) ∧ 𝑢 (𝑃 𝑄)))
3533, 34syl6rbbr 278 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → ((𝑢𝑃𝑢𝑄𝑢 (𝑃 𝑄)) ↔ 𝑢 (𝑃 𝑄)))
3622, 35bitrd 267 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → ((𝑃 𝑢) = (𝑄 𝑢) ↔ 𝑢 (𝑃 𝑄)))
37363expia 1259 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴) → (𝑢 𝑊 → ((𝑃 𝑢) = (𝑄 𝑢) ↔ 𝑢 (𝑃 𝑄))))
3837pm5.32rd 670 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴) → (((𝑃 𝑢) = (𝑄 𝑢) ∧ 𝑢 𝑊) ↔ (𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑢 𝑊)))
3938rexbidva 3031 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → (∃𝑢𝐴 ((𝑃 𝑢) = (𝑄 𝑢) ∧ 𝑢 𝑊) ↔ ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑢 𝑊)))
4012, 39mpbird 246 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → ∃𝑢𝐴 ((𝑃 𝑢) = (𝑄 𝑢) ∧ 𝑢 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wrex 2897   class class class wbr 4578  cfv 5790  (class class class)co 6527  lecple 15724  joincjn 16716  meetcmee 16717  Atomscatm 33362  CvLatclc 33364  HLchlt 33449  LHypclh 34082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4368  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-preset 16700  df-poset 16718  df-plt 16730  df-lub 16746  df-glb 16747  df-join 16748  df-meet 16749  df-p0 16811  df-p1 16812  df-lat 16818  df-clat 16880  df-oposet 33275  df-ol 33277  df-oml 33278  df-covers 33365  df-ats 33366  df-atl 33397  df-cvlat 33421  df-hlat 33450  df-lhyp 34086
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator