Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme11a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme11a 34389
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Lemma leading to cdleme11 34399. (Contributed by NM, 12-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme11.l = (le‘𝐾)
cdleme11.j = (join‘𝐾)
cdleme11.m = (meet‘𝐾)
cdleme11.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme11.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme11.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdleme11a (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → (𝑆 𝑈) = (𝑆 𝑇))

Proof of Theorem cdleme11a
StepHypRef Expression
1 simp3rr 1127 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝑈 (𝑆 𝑇))
2 simp1l 1077 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝐾 ∈ HL)
3 simp1 1053 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
4 simp2l 1079 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
5 simp2r 1080 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → (𝑄𝐴𝑃𝑄))
6 cdleme11.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
7 cdleme11.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
8 cdleme11.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
9 cdleme11.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10 cdleme11.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11 cdleme11.u . . . . 5 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
126, 7, 8, 9, 10, 11lhpat2 34173 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) → 𝑈𝐴)
133, 4, 5, 12syl3anc 1317 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝑈𝐴)
14 simp3rl 1126 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝑇𝐴)
15 simp3ll 1124 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝑆𝐴)
16 simp2ll 1120 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝑃𝐴)
17 simp2rl 1122 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝑄𝐴)
18 simp3l 1081 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊))
196, 7, 8, 9, 10, 11cdleme0c 34342 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑈𝑆)
203, 16, 17, 18, 19syl121anc 1322 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝑈𝑆)
216, 7, 9hlatexchb1 33521 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈𝐴𝑇𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑈𝑆) → (𝑈 (𝑆 𝑇) ↔ (𝑆 𝑈) = (𝑆 𝑇)))
222, 13, 14, 15, 20, 21syl131anc 1330 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → (𝑈 (𝑆 𝑇) ↔ (𝑆 𝑈) = (𝑆 𝑇)))
231, 22mpbid 220 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → (𝑆 𝑈) = (𝑆 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  lecple 15724  joincjn 16716  meetcmee 16717  Atomscatm 33392  HLchlt 33479  LHypclh 34112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-preset 16700  df-poset 16718  df-plt 16730  df-lub 16746  df-glb 16747  df-join 16748  df-meet 16749  df-p0 16811  df-p1 16812  df-lat 16818  df-clat 16880  df-oposet 33305  df-ol 33307  df-oml 33308  df-covers 33395  df-ats 33396  df-atl 33427  df-cvlat 33451  df-hlat 33480  df-lhyp 34116
This theorem is referenced by:  cdleme11c  34390
  Copyright terms: Public domain W3C validator