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Theorem cdleme11e 35016
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Lemma leading to cdleme11 35023. (Contributed by NM, 13-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme11.l = (le‘𝐾)
cdleme11.j = (join‘𝐾)
cdleme11.m = (meet‘𝐾)
cdleme11.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme11.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme11.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
cdleme11.c 𝐶 = ((𝑃 𝑆) 𝑊)
cdleme11.d 𝐷 = ((𝑃 𝑇) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdleme11e ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → 𝐶𝐷)

Proof of Theorem cdleme11e
StepHypRef Expression
1 simp11 1089 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp12 1090 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
3 simp22 1093 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → 𝑇𝐴)
4 simp21 1092 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊))
5 simp11l 1170 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → 𝐾 ∈ HL)
6 hllat 34116 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
75, 6syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → 𝐾 ∈ Lat)
8 simp12l 1172 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → 𝑃𝐴)
9 eqid 2626 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
10 cdleme11.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
119, 10atbase 34042 . . . . 5 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
128, 11syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
13 simp21l 1176 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → 𝑆𝐴)
149, 10atbase 34042 . . . . 5 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
1513, 14syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
169, 10atbase 34042 . . . . 5 (𝑇𝐴𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
173, 16syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
18 simp1 1059 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴))
19 simp2 1060 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄))
20 simp32 1096 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))
21 simp33 1097 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → 𝑈 (𝑆 𝑇))
22 cdleme11.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
23 cdleme11.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
24 cdleme11.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
25 cdleme11.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
26 cdleme11.u . . . . . 6 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
2722, 23, 24, 10, 25, 26cdleme11c 35014 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → ¬ 𝑃 (𝑆 𝑇))
2818, 19, 20, 21, 27syl112anc 1327 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → ¬ 𝑃 (𝑆 𝑇))
299, 22, 23latnlej1r 16986 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑃 (𝑆 𝑇)) → 𝑃𝑇)
307, 12, 15, 17, 28, 29syl131anc 1336 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → 𝑃𝑇)
31 simp31 1095 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → 𝑆𝑇)
3222, 23, 10hlatcon2 34204 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑃𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑃 (𝑆 𝑇))) → ¬ 𝑆 (𝑃 𝑇))
335, 13, 3, 8, 31, 28, 32syl132anc 1341 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → ¬ 𝑆 (𝑃 𝑇))
34 cdleme11.d . . . 4 𝐷 = ((𝑃 𝑇) 𝑊)
35 cdleme11.c . . . 4 𝐶 = ((𝑃 𝑆) 𝑊)
3622, 23, 24, 10, 25, 34, 35cdleme0e 34970 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑇))) → 𝐷𝐶)
371, 2, 3, 4, 30, 33, 36syl132anc 1341 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → 𝐷𝐶)
3837necomd 2851 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → 𝐶𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605  Basecbs 15776  lecple 15864  joincjn 16860  meetcmee 16861  Latclat 16961  Atomscatm 34016  HLchlt 34103  LHypclh 34736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-preset 16844  df-poset 16862  df-plt 16874  df-lub 16890  df-glb 16891  df-join 16892  df-meet 16893  df-p0 16955  df-p1 16956  df-lat 16962  df-clat 17024  df-oposet 33929  df-ol 33931  df-oml 33932  df-covers 34019  df-ats 34020  df-atl 34051  df-cvlat 34075  df-hlat 34104  df-psubsp 34255  df-pmap 34256  df-padd 34548  df-lhyp 34740
This theorem is referenced by:  cdleme11l  35022
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