Theorem cdleme1b 37356

Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Utility lemma showing 𝐹 is a lattice element. 𝐹 represents their f(r). (Contributed by NM, 6-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleme1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdleme1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdleme1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdleme1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme1.u	⊢ 𝑈 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)
cdleme1.f	⊢ 𝐹 = ((𝑅 ∨ 𝑈) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑊)))
cdleme1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cdleme1b	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐹 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem cdleme1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdleme1.f	. 2 ⊢ 𝐹 = ((𝑅 ∨ 𝑈) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑊)))
2		hllat 36493	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
3	2	ad2antrr 724	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simpr3 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ 𝐴)
5		cdleme1.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		cdleme1.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	5, 6	atbase 36419	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ 𝐵)
8	4, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ 𝐵)
9		cdleme1.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
10		cdleme1.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
11		cdleme1.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
12		cdleme1.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
13		cdleme1.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)
14	9, 10, 11, 6, 12, 13, 5	cdleme0aa 37340	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ 𝐵)
15	14	3adant3r3 1180	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
16	5, 10	latjcl 17655	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → (𝑅 ∨ 𝑈) ∈ 𝐵)
17	3, 8, 15, 16	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑅 ∨ 𝑈) ∈ 𝐵)
18		simpr2 1191	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
19	5, 6	atbase 36419	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ 𝐵)
20	18, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐵)
21		simpr1 1190	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
22	5, 6	atbase 36419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝐵)
24	5, 10	latjcl 17655	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ 𝐵)
25	3, 23, 8, 24	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ 𝐵)
26	5, 12	lhpbase 37128	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
27	26	ad2antlr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
28	5, 11	latmcl 17656	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
29	3, 25, 27, 28	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
30	5, 10	latjcl 17655	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵) → (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑊)) ∈ 𝐵)
31	3, 20, 29, 30	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑊)) ∈ 𝐵)
32	5, 11	latmcl 17656	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∨ 𝑈) ∈ 𝐵 ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑊)) ∈ 𝐵) → ((𝑅 ∨ 𝑈) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑊))) ∈ 𝐵)
33	3, 17, 31, 32	syl3anc 1367	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑅 ∨ 𝑈) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑊))) ∈ 𝐵)
34	1, 33	eqeltrid 2917	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐹 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  Basecbs 16477  lecple 16566  joincjn 17548  meetcmee 17549  Latclat 17649  Atomscatm 36393  HLchlt 36480  LHypclh 37114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-lub 17578  df-glb 17579  df-join 17580  df-meet 17581  df-lat 17650  df-ats 36397  df-atl 36428  df-cvlat 36452  df-hlat 36481  df-lhyp 37118

This theorem is referenced by:  cdleme3c  37360  cdleme4a  37369  cdleme5  37370  cdleme7e  37377  cdleme11  37400  cdleme15  37408  cdleme22gb  37424  cdleme19b  37434  cdleme19e  37437  cdleme20d  37442  cdleme20j  37448  cdleme20k  37449  cdleme20l2  37451  cdleme20l  37452  cdleme20m  37453  cdleme22e  37474  cdleme22eALTN  37475  cdleme22f  37476  cdleme27cl  37496  cdlemefr27cl  37533  cdleme35fnpq  37579