Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme1b 34334
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Utility lemma showing 𝐹 is a lattice element. 𝐹 represents their f(r). (Contributed by NM, 6-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme1.l = (le‘𝐾)
cdleme1.j = (join‘𝐾)
cdleme1.m = (meet‘𝐾)
cdleme1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme1.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
cdleme1.f 𝐹 = ((𝑅 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑅) 𝑊)))
cdleme1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdleme1b (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐹𝐵)

Proof of Theorem cdleme1b
StepHypRef Expression
1 cdleme1.f . 2 𝐹 = ((𝑅 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑅) 𝑊)))
2 hllat 33471 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
32ad2antrr 757 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simpr3 1061 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅𝐴)
5 cdleme1.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 cdleme1.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
75, 6atbase 33397 . . . . 5 (𝑅𝐴𝑅𝐵)
84, 7syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅𝐵)
9 cdleme1.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
10 cdleme1.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
11 cdleme1.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
12 cdleme1.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
13 cdleme1.u . . . . . 6 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
149, 10, 11, 6, 12, 13, 5cdleme0aa 34318 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑈𝐵)
15143adant3r3 1267 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑈𝐵)
165, 10latjcl 16820 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅𝐵𝑈𝐵) → (𝑅 𝑈) ∈ 𝐵)
173, 8, 15, 16syl3anc 1317 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑅 𝑈) ∈ 𝐵)
18 simpr2 1060 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑄𝐴)
195, 6atbase 33397 . . . . 5 (𝑄𝐴𝑄𝐵)
2018, 19syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑄𝐵)
21 simpr1 1059 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑃𝐴)
225, 6atbase 33397 . . . . . . 7 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑃𝐵)
245, 10latjcl 16820 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵𝑅𝐵) → (𝑃 𝑅) ∈ 𝐵)
253, 23, 8, 24syl3anc 1317 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑃 𝑅) ∈ 𝐵)
265, 12lhpbase 34105 . . . . . 6 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
2726ad2antlr 758 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑊𝐵)
285, 11latmcl 16821 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑅) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((𝑃 𝑅) 𝑊) ∈ 𝐵)
293, 25, 27, 28syl3anc 1317 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑃 𝑅) 𝑊) ∈ 𝐵)
305, 10latjcl 16820 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐵 ∧ ((𝑃 𝑅) 𝑊) ∈ 𝐵) → (𝑄 ((𝑃 𝑅) 𝑊)) ∈ 𝐵)
313, 20, 29, 30syl3anc 1317 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑄 ((𝑃 𝑅) 𝑊)) ∈ 𝐵)
325, 11latmcl 16821 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 𝑈) ∈ 𝐵 ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑅) 𝑊)) ∈ 𝐵) → ((𝑅 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑅) 𝑊))) ∈ 𝐵)
333, 17, 31, 32syl3anc 1317 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑅 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑅) 𝑊))) ∈ 𝐵)
341, 33syl5eqel 2691 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐹𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15641  lecple 15721  joincjn 16713  meetcmee 16714  Latclat 16814  Atomscatm 33371  HLchlt 33458  LHypclh 34091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-lub 16743  df-glb 16744  df-join 16745  df-meet 16746  df-lat 16815  df-ats 33375  df-atl 33406  df-cvlat 33430  df-hlat 33459  df-lhyp 34095
This theorem is referenced by:  cdleme3c  34338  cdleme4a  34347  cdleme5  34348  cdleme7e  34355  cdleme11  34378  cdleme15  34386  cdleme22gb  34402  cdleme19b  34413  cdleme19e  34416  cdleme20d  34421  cdleme20j  34427  cdleme20k  34428  cdleme20l2  34430  cdleme20l  34431  cdleme20m  34432  cdleme22e  34453  cdleme22eALTN  34454  cdleme22f  34455  cdleme27cl  34475  cdlemefr27cl  34512  cdleme35fnpq  34558
  Copyright terms: Public domain W3C validator