Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme20zN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme20zN 35054
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Utility lemma. (Contributed by NM, 17-Nov-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme20z.l = (le‘𝐾)
cdleme20z.j = (join‘𝐾)
cdleme20z.m = (meet‘𝐾)
cdleme20z.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdleme20zN ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → ((𝑆 𝑅) 𝑇) = (0.‘𝐾))

Proof of Theorem cdleme20zN
StepHypRef Expression
1 hllat 34116 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
213ad2ant1 1080 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simp1 1059 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → 𝐾 ∈ HL)
4 simp22 1093 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → 𝑆𝐴)
5 simp21 1092 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → 𝑅𝐴)
6 eqid 2626 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7 cdleme20z.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
8 cdleme20z.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
96, 7, 8hlatjcl 34119 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑅𝐴) → (𝑆 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
103, 4, 5, 9syl3anc 1323 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → (𝑆 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
11 simp23 1094 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → 𝑇𝐴)
126, 8atbase 34042 . . . 4 (𝑇𝐴𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
1311, 12syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
14 cdleme20z.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
156, 14latmcom 16991 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑆 𝑅) 𝑇) = (𝑇 (𝑆 𝑅)))
162, 10, 13, 15syl3anc 1323 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → ((𝑆 𝑅) 𝑇) = (𝑇 (𝑆 𝑅)))
17 simp3r 1088 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))
18 hlcvl 34112 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CvLat)
19183ad2ant1 1080 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → 𝐾 ∈ CvLat)
20 simp3l 1087 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → 𝑆𝑇)
2120necomd 2851 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → 𝑇𝑆)
22 cdleme20z.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
2322, 7, 8cvlatexch1 34089 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑇𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑇𝑆) → (𝑇 (𝑆 𝑅) → 𝑅 (𝑆 𝑇)))
2419, 11, 5, 4, 21, 23syl131anc 1336 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → (𝑇 (𝑆 𝑅) → 𝑅 (𝑆 𝑇)))
2517, 24mtod 189 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → ¬ 𝑇 (𝑆 𝑅))
26 hlatl 34113 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
27263ad2ant1 1080 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → 𝐾 ∈ AtLat)
28 eqid 2626 . . . . 5 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
296, 22, 14, 28, 8atnle 34070 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑆 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → (¬ 𝑇 (𝑆 𝑅) ↔ (𝑇 (𝑆 𝑅)) = (0.‘𝐾)))
3027, 11, 10, 29syl3anc 1323 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → (¬ 𝑇 (𝑆 𝑅) ↔ (𝑇 (𝑆 𝑅)) = (0.‘𝐾)))
3125, 30mpbid 222 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → (𝑇 (𝑆 𝑅)) = (0.‘𝐾))
3216, 31eqtrd 2660 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → ((𝑆 𝑅) 𝑇) = (0.‘𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605  Basecbs 15776  lecple 15864  joincjn 16860  meetcmee 16861  0.cp0 16953  Latclat 16961  Atomscatm 34016  AtLatcal 34017  CvLatclc 34018  HLchlt 34103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-preset 16844  df-poset 16862  df-plt 16874  df-lub 16890  df-glb 16891  df-join 16892  df-meet 16893  df-p0 16955  df-lat 16962  df-covers 34019  df-ats 34020  df-atl 34051  df-cvlat 34075  df-hlat 34104
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator