Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme20zN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme20zN 35906
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Utility lemma. (Contributed by NM, 17-Nov-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme20z.l = (le‘𝐾)
cdleme20z.j = (join‘𝐾)
cdleme20z.m = (meet‘𝐾)
cdleme20z.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdleme20zN ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → ((𝑆 𝑅) 𝑇) = (0.‘𝐾))

Proof of Theorem cdleme20zN
StepHypRef Expression
1 hllat 34968 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
213ad2ant1 1102 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simp1 1081 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → 𝐾 ∈ HL)
4 simp22 1115 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → 𝑆𝐴)
5 simp21 1114 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → 𝑅𝐴)
6 eqid 2651 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7 cdleme20z.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
8 cdleme20z.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
96, 7, 8hlatjcl 34971 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑅𝐴) → (𝑆 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
103, 4, 5, 9syl3anc 1366 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → (𝑆 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
11 simp23 1116 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → 𝑇𝐴)
126, 8atbase 34894 . . . 4 (𝑇𝐴𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
1311, 12syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
14 cdleme20z.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
156, 14latmcom 17122 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑆 𝑅) 𝑇) = (𝑇 (𝑆 𝑅)))
162, 10, 13, 15syl3anc 1366 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → ((𝑆 𝑅) 𝑇) = (𝑇 (𝑆 𝑅)))
17 simp3r 1110 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))
18 hlcvl 34964 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CvLat)
19183ad2ant1 1102 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → 𝐾 ∈ CvLat)
20 simp3l 1109 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → 𝑆𝑇)
2120necomd 2878 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → 𝑇𝑆)
22 cdleme20z.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
2322, 7, 8cvlatexch1 34941 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑇𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑇𝑆) → (𝑇 (𝑆 𝑅) → 𝑅 (𝑆 𝑇)))
2419, 11, 5, 4, 21, 23syl131anc 1379 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → (𝑇 (𝑆 𝑅) → 𝑅 (𝑆 𝑇)))
2517, 24mtod 189 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → ¬ 𝑇 (𝑆 𝑅))
26 hlatl 34965 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
27263ad2ant1 1102 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → 𝐾 ∈ AtLat)
28 eqid 2651 . . . . 5 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
296, 22, 14, 28, 8atnle 34922 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑆 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → (¬ 𝑇 (𝑆 𝑅) ↔ (𝑇 (𝑆 𝑅)) = (0.‘𝐾)))
3027, 11, 10, 29syl3anc 1366 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → (¬ 𝑇 (𝑆 𝑅) ↔ (𝑇 (𝑆 𝑅)) = (0.‘𝐾)))
3125, 30mpbid 222 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → (𝑇 (𝑆 𝑅)) = (0.‘𝐾))
3216, 31eqtrd 2685 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → ((𝑆 𝑅) 𝑇) = (0.‘𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  lecple 15995  joincjn 16991  meetcmee 16992  0.cp0 17084  Latclat 17092  Atomscatm 34868  AtLatcal 34869  CvLatclc 34870  HLchlt 34955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-lat 17093  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator