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Theorem cdleme22d 35948
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 3rd paragraph, 9th line on p. 115. (Contributed by NM, 4-Dec-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme22.l = (le‘𝐾)
cdleme22.j = (join‘𝐾)
cdleme22.m = (meet‘𝐾)
cdleme22.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme22.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdleme22d (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → 𝑉 = ((𝑆 𝑇) 𝑊))

Proof of Theorem cdleme22d
StepHypRef Expression
1 simp3r 1110 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → 𝑆 (𝑇 𝑉))
2 simp1l 1105 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → 𝐾 ∈ HL)
3 simp22l 1200 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → 𝑇𝐴)
4 simp23l 1202 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → 𝑉𝐴)
5 cdleme22.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
6 cdleme22.j . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
7 cdleme22.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
85, 6, 7hlatlej1 34979 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇𝐴𝑉𝐴) → 𝑇 (𝑇 𝑉))
92, 3, 4, 8syl3anc 1366 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → 𝑇 (𝑇 𝑉))
10 hllat 34968 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
112, 10syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → 𝐾 ∈ Lat)
12 simp21l 1198 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → 𝑆𝐴)
13 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1413, 7atbase 34894 . . . . . . . 8 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
1512, 14syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
1613, 7atbase 34894 . . . . . . . 8 (𝑇𝐴𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
173, 16syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
1813, 6, 7hlatjcl 34971 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇𝐴𝑉𝐴) → (𝑇 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
192, 3, 4, 18syl3anc 1366 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → (𝑇 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
2013, 5, 6latjle12 17109 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑇 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑇 (𝑇 𝑉)) ↔ (𝑆 𝑇) (𝑇 𝑉)))
2111, 15, 17, 19, 20syl13anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → ((𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑇 (𝑇 𝑉)) ↔ (𝑆 𝑇) (𝑇 𝑉)))
221, 9, 21mpbi2and 976 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → (𝑆 𝑇) (𝑇 𝑉))
2313, 6, 7hlatjcl 34971 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
242, 12, 3, 23syl3anc 1366 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → (𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
25 simp1r 1106 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → 𝑊𝐻)
26 cdleme22.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2713, 26lhpbase 35602 . . . . . . 7 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
2825, 27syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
29 cdleme22.m . . . . . . 7 = (meet‘𝐾)
3013, 5, 29latmlem1 17128 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑇 𝑉) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑆 𝑇) (𝑇 𝑉) → ((𝑆 𝑇) 𝑊) ((𝑇 𝑉) 𝑊)))
3111, 24, 19, 28, 30syl13anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → ((𝑆 𝑇) (𝑇 𝑉) → ((𝑆 𝑇) 𝑊) ((𝑇 𝑉) 𝑊)))
3222, 31mpd 15 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → ((𝑆 𝑇) 𝑊) ((𝑇 𝑉) 𝑊))
33 simp1 1081 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
34 simp22 1115 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊))
35 eqid 2651 . . . . . . . 8 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
365, 29, 35, 7, 26lhpmat 35634 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) → (𝑇 𝑊) = (0.‘𝐾))
3733, 34, 36syl2anc 694 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → (𝑇 𝑊) = (0.‘𝐾))
3837oveq1d 6705 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → ((𝑇 𝑊) 𝑉) = ((0.‘𝐾) 𝑉))
39 simp23r 1203 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → 𝑉 𝑊)
4013, 5, 6, 29, 7atmod4i1 35470 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑉𝐴𝑇 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑉 𝑊) → ((𝑇 𝑊) 𝑉) = ((𝑇 𝑉) 𝑊))
412, 4, 17, 28, 39, 40syl131anc 1379 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → ((𝑇 𝑊) 𝑉) = ((𝑇 𝑉) 𝑊))
42 hlol 34966 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
432, 42syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → 𝐾 ∈ OL)
4413, 7atbase 34894 . . . . . . 7 (𝑉𝐴𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
454, 44syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → 𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
4613, 6, 35olj02 34831 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑉 ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾) 𝑉) = 𝑉)
4743, 45, 46syl2anc 694 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → ((0.‘𝐾) 𝑉) = 𝑉)
4838, 41, 473eqtr3d 2693 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → ((𝑇 𝑉) 𝑊) = 𝑉)
4932, 48breqtrd 4711 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → ((𝑆 𝑇) 𝑊) 𝑉)
50 hlatl 34965 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
512, 50syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → 𝐾 ∈ AtLat)
52 simp21r 1199 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → ¬ 𝑆 𝑊)
53 simp3l 1109 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → 𝑆𝑇)
545, 6, 29, 7, 26lhpat 35647 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑆𝑇)) → ((𝑆 𝑇) 𝑊) ∈ 𝐴)
552, 25, 12, 52, 3, 53, 54syl222anc 1382 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → ((𝑆 𝑇) 𝑊) ∈ 𝐴)
565, 7atcmp 34916 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑊) ∈ 𝐴𝑉𝐴) → (((𝑆 𝑇) 𝑊) 𝑉 ↔ ((𝑆 𝑇) 𝑊) = 𝑉))
5751, 55, 4, 56syl3anc 1366 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → (((𝑆 𝑇) 𝑊) 𝑉 ↔ ((𝑆 𝑇) 𝑊) = 𝑉))
5849, 57mpbid 222 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → ((𝑆 𝑇) 𝑊) = 𝑉)
5958eqcomd 2657 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉))) → 𝑉 = ((𝑆 𝑇) 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  lecple 15995  joincjn 16991  meetcmee 16992  0.cp0 17084  Latclat 17092  OLcol 34779  Atomscatm 34868  AtLatcal 34869  HLchlt 34955  LHypclh 35588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-psubsp 35107  df-pmap 35108  df-padd 35400  df-lhyp 35592
This theorem is referenced by:  cdleme22g  35953
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