Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme3c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme3c 35835
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Lemma leading to cdleme3fa 35841 and cdleme3 35842. (Contributed by NM, 6-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme1.l = (le‘𝐾)
cdleme1.j = (join‘𝐾)
cdleme1.m = (meet‘𝐾)
cdleme1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme1.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
cdleme1.f 𝐹 = ((𝑅 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑅) 𝑊)))
cdleme3c.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdleme3c (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 𝐹0 )

Proof of Theorem cdleme3c
StepHypRef Expression
1 simpll 805 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 𝐾 ∈ HL)
2 hllat 34968 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
32ad2antrr 762 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simpr3l 1142 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 𝑅𝐴)
5 eqid 2651 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6 cdleme1.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
75, 6atbase 34894 . . . . . 6 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
84, 7syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
9 hlop 34967 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
109ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 𝐾 ∈ OP)
11 cdleme3c.z . . . . . . 7 0 = (0.‘𝐾)
125, 11op0cl 34789 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
1310, 12syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
14 cdleme1.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
155, 14latjcl 17098 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑅 0 ) ∈ (Base‘𝐾))
163, 8, 13, 15syl3anc 1366 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → (𝑅 0 ) ∈ (Base‘𝐾))
17 simpl 472 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
18 simpr1l 1138 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 𝑃𝐴)
19 simpr2l 1140 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 𝑄𝐴)
20 cdleme1.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
21 cdleme1.m . . . . . . 7 = (meet‘𝐾)
22 cdleme1.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
23 cdleme1.u . . . . . . 7 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
24 cdleme1.f . . . . . . 7 𝐹 = ((𝑅 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑅) 𝑊)))
2520, 14, 21, 6, 22, 23, 24, 5cdleme1b 35831 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐹 ∈ (Base‘𝐾))
2617, 18, 19, 4, 25syl13anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 𝐹 ∈ (Base‘𝐾))
275, 14latjcl 17098 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝐹 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑅 𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
283, 8, 26, 27syl3anc 1366 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → (𝑅 𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
295, 6atbase 34894 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
3018, 29syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
315, 6atbase 34894 . . . . . . . . . . . 12 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
3219, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
335, 14latjcl 17098 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
343, 30, 32, 33syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
355, 22lhpbase 35602 . . . . . . . . . . 11 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
3635ad2antlr 763 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
375, 20, 21latmle2 17124 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑊)
383, 34, 36, 37syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑊)
3923, 38syl5eqbr 4720 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 𝑈 𝑊)
40 simpr3r 1143 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → ¬ 𝑅 𝑊)
41 nbrne2 4705 . . . . . . . 8 ((𝑈 𝑊 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) → 𝑈𝑅)
4239, 40, 41syl2anc 694 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 𝑈𝑅)
4342necomd 2878 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 𝑅𝑈)
4420, 14, 21, 6, 22, 23lhpat2 35649 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) → 𝑈𝐴)
45443adant3r3 1297 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 𝑈𝐴)
46 eqid 2651 . . . . . . . 8 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
4714, 46, 6atcvr1 35021 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑈𝐴) → (𝑅𝑈𝑅( ⋖ ‘𝐾)(𝑅 𝑈)))
481, 4, 45, 47syl3anc 1366 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → (𝑅𝑈𝑅( ⋖ ‘𝐾)(𝑅 𝑈)))
4943, 48mpbid 222 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 𝑅( ⋖ ‘𝐾)(𝑅 𝑈))
50 hlol 34966 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
5150ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 𝐾 ∈ OL)
525, 14, 11olj01 34830 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑅 0 ) = 𝑅)
5351, 8, 52syl2anc 694 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → (𝑅 0 ) = 𝑅)
54 simpr3 1089 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))
5520, 14, 21, 6, 22, 23, 24cdleme1 35832 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → (𝑅 𝐹) = (𝑅 𝑈))
5617, 18, 19, 54, 55syl13anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → (𝑅 𝐹) = (𝑅 𝑈))
5749, 53, 563brtr4d 4717 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → (𝑅 0 )( ⋖ ‘𝐾)(𝑅 𝐹))
585, 46cvrne 34886 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 0 ) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 𝐹) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅 0 )( ⋖ ‘𝐾)(𝑅 𝐹)) → (𝑅 0 ) ≠ (𝑅 𝐹))
591, 16, 28, 57, 58syl31anc 1369 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → (𝑅 0 ) ≠ (𝑅 𝐹))
60 oveq2 6698 . . . 4 ( 0 = 𝐹 → (𝑅 0 ) = (𝑅 𝐹))
6160necon3i 2855 . . 3 ((𝑅 0 ) ≠ (𝑅 𝐹) → 0𝐹)
6259, 61syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 0𝐹)
6362necomd 2878 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 𝐹0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  lecple 15995  joincjn 16991  meetcmee 16992  0.cp0 17084  Latclat 17092  OPcops 34777  OLcol 34779  ccvr 34867  Atomscatm 34868  HLchlt 34955  LHypclh 35588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-psubsp 35107  df-pmap 35108  df-padd 35400  df-lhyp 35592
This theorem is referenced by:  cdleme3h  35840
  Copyright terms: Public domain W3C validator