Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme50f1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme50f1o 34648
Description: Part of proof of Lemma D in [Crawley] p. 113. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemef50.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemef50.l = (le‘𝐾)
cdlemef50.j = (join‘𝐾)
cdlemef50.m = (meet‘𝐾)
cdlemef50.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemef50.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemef50.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
cdlemef50.d 𝐷 = ((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊)))
cdlemefs50.e 𝐸 = ((𝑃 𝑄) (𝐷 ((𝑠 𝑡) 𝑊)))
cdlemef50.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ if((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑥 𝑊), (𝑧𝐵𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ (𝑠 (𝑥 𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (if(𝑠 (𝑃 𝑄), (𝑦𝐵𝑡𝐴 ((¬ 𝑡 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 (𝑃 𝑄)) → 𝑦 = 𝐸)), 𝑠 / 𝑡𝐷) (𝑥 𝑊)))), 𝑥))
Assertion
Ref Expression
cdleme50f1o (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧,   ,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   ,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐴,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧   𝐻,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐾,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑄,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑊,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑡)   𝐸(𝑡,𝑠)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡,𝑠)

Proof of Theorem cdleme50f1o
StepHypRef Expression
1 cdlemef50.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cdlemef50.l . . 3 = (le‘𝐾)
3 cdlemef50.j . . 3 = (join‘𝐾)
4 cdlemef50.m . . 3 = (meet‘𝐾)
5 cdlemef50.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6 cdlemef50.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 cdlemef50.u . . 3 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
8 cdlemef50.d . . 3 𝐷 = ((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊)))
9 cdlemefs50.e . . 3 𝐸 = ((𝑃 𝑄) (𝐷 ((𝑠 𝑡) 𝑊)))
10 cdlemef50.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ if((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑥 𝑊), (𝑧𝐵𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ (𝑠 (𝑥 𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (if(𝑠 (𝑃 𝑄), (𝑦𝐵𝑡𝐴 ((¬ 𝑡 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 (𝑃 𝑄)) → 𝑦 = 𝐸)), 𝑠 / 𝑡𝐷) (𝑥 𝑊)))), 𝑥))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cdleme50f1 34645 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → 𝐹:𝐵1-1𝐵)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cdleme50rn 34647 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → ran 𝐹 = 𝐵)
13 dff1o5 6044 . 2 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵 ↔ (𝐹:𝐵1-1𝐵 ∧ ran 𝐹 = 𝐵))
1411, 12, 13sylanbrc 694 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  csb 3498  ifcif 4035   class class class wbr 4577  cmpt 4637  ran crn 5029  1-1wf1 5787  1-1-ontowf1o 5789  cfv 5790  crio 6488  (class class class)co 6527  Basecbs 15641  lecple 15721  joincjn 16713  meetcmee 16714  Atomscatm 33364  HLchlt 33451  LHypclh 34084
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-riotaBAD 33053
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-undef 7263  df-preset 16697  df-poset 16715  df-plt 16727  df-lub 16743  df-glb 16744  df-join 16745  df-meet 16746  df-p0 16808  df-p1 16809  df-lat 16815  df-clat 16877  df-oposet 33277  df-ol 33279  df-oml 33280  df-covers 33367  df-ats 33368  df-atl 33399  df-cvlat 33423  df-hlat 33452  df-llines 33598  df-lplanes 33599  df-lvols 33600  df-lines 33601  df-psubsp 33603  df-pmap 33604  df-padd 33896  df-lhyp 34088
This theorem is referenced by:  cdleme50laut  34649  cdleme51finvfvN  34657  cdleme51finvN  34658
  Copyright terms: Public domain W3C validator