Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme8 34353
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 2nd paragraph on p. 114. 𝐶 represents s1. In their notation, we prove p s1 = p s. (Contributed by NM, 9-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme8.l = (le‘𝐾)
cdleme8.j = (join‘𝐾)
cdleme8.m = (meet‘𝐾)
cdleme8.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme8.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme8.4 𝐶 = ((𝑃 𝑆) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdleme8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) → (𝑃 𝐶) = (𝑃 𝑆))

Proof of Theorem cdleme8
StepHypRef Expression
1 cdleme8.4 . . 3 𝐶 = ((𝑃 𝑆) 𝑊)
21oveq2i 6533 . 2 (𝑃 𝐶) = (𝑃 ((𝑃 𝑆) 𝑊))
3 simp1l 1077 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
4 simp2l 1079 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) → 𝑃𝐴)
5 hllat 33466 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
63, 5syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
7 eqid 2604 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8 cdleme8.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
97, 8atbase 33392 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
104, 9syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
117, 8atbase 33392 . . . . . 6 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
12113ad2ant3 1076 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
13 cdleme8.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
147, 13latjcl 16815 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
156, 10, 12, 14syl3anc 1317 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) → (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
16 simp1r 1078 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) → 𝑊𝐻)
17 cdleme8.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
187, 17lhpbase 34100 . . . . 5 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
1916, 18syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
20 cdleme8.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
217, 20, 13latlej1 16824 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑃 (𝑃 𝑆))
226, 10, 12, 21syl3anc 1317 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) → 𝑃 (𝑃 𝑆))
23 cdleme8.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
247, 20, 13, 23, 8atmod3i1 33966 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴 ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑃 (𝑃 𝑆)) → (𝑃 ((𝑃 𝑆) 𝑊)) = ((𝑃 𝑆) (𝑃 𝑊)))
253, 4, 15, 19, 22, 24syl131anc 1330 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) → (𝑃 ((𝑃 𝑆) 𝑊)) = ((𝑃 𝑆) (𝑃 𝑊)))
26 eqid 2604 . . . . . 6 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
2720, 13, 26, 8, 17lhpjat2 34123 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 𝑊) = (1.‘𝐾))
28273adant3 1073 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) → (𝑃 𝑊) = (1.‘𝐾))
2928oveq2d 6538 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) → ((𝑃 𝑆) (𝑃 𝑊)) = ((𝑃 𝑆) (1.‘𝐾)))
30 hlol 33464 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
313, 30syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) → 𝐾 ∈ OL)
327, 23, 26olm11 33330 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑆) (1.‘𝐾)) = (𝑃 𝑆))
3331, 15, 32syl2anc 690 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) → ((𝑃 𝑆) (1.‘𝐾)) = (𝑃 𝑆))
3425, 29, 333eqtrd 2642 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) → (𝑃 ((𝑃 𝑆) 𝑊)) = (𝑃 𝑆))
352, 34syl5eq 2650 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) → (𝑃 𝐶) = (𝑃 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975   class class class wbr 4572  cfv 5785  (class class class)co 6522  Basecbs 15636  lecple 15716  joincjn 16708  meetcmee 16709  1.cp1 16802  Latclat 16809  OLcol 33277  Atomscatm 33366  HLchlt 33453  LHypclh 34086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-op 4126  df-uni 4362  df-iun 4446  df-iin 4447  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-id 4938  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-preset 16692  df-poset 16710  df-plt 16722  df-lub 16738  df-glb 16739  df-join 16740  df-meet 16741  df-p0 16803  df-p1 16804  df-lat 16810  df-clat 16872  df-oposet 33279  df-ol 33281  df-oml 33282  df-covers 33369  df-ats 33370  df-atl 33401  df-cvlat 33425  df-hlat 33454  df-psubsp 33605  df-pmap 33606  df-padd 33898  df-lhyp 34090
This theorem is referenced by:  cdleme8tN  34358  cdleme15a  34377  cdleme17b  34390  cdlemg3a  34701
  Copyright terms: Public domain W3C validator