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Theorem cdleme9 35006
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 2nd paragraph on p. 114. 𝐶 and 𝐹 represent s1 and f(s) respectively. In their notation, we prove f(s) s1 = q s1. (Contributed by NM, 10-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme9.l = (le‘𝐾)
cdleme9.j = (join‘𝐾)
cdleme9.m = (meet‘𝐾)
cdleme9.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme9.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme9.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
cdleme9.f 𝐹 = ((𝑆 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑆) 𝑊)))
cdleme9.c 𝐶 = ((𝑃 𝑆) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdleme9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝐹 𝐶) = (𝑄 𝐶))

Proof of Theorem cdleme9
StepHypRef Expression
1 cdleme9.l . . . 4 = (le‘𝐾)
2 cdleme9.j . . . 4 = (join‘𝐾)
3 cdleme9.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
4 cdleme9.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 cdleme9.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 cdleme9.u . . . 4 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
7 cdleme9.f . . . 4 𝐹 = ((𝑆 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑆) 𝑊)))
8 cdleme9.c . . . 4 𝐶 = ((𝑃 𝑆) 𝑊)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cdleme3d 34984 . . 3 𝐹 = ((𝑆 𝑈) (𝑄 𝐶))
109oveq1i 6615 . 2 (𝐹 𝐶) = (((𝑆 𝑈) (𝑄 𝐶)) 𝐶)
11 simp1l 1083 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝐾 ∈ HL)
12 simp1 1059 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
13 simp21 1092 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
14 simp23l 1180 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝑆𝐴)
15 hllat 34116 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
1611, 15syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝐾 ∈ Lat)
17 eqid 2626 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1817, 4atbase 34042 . . . . . . 7 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
1914, 18syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
20 simp21l 1176 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝑃𝐴)
2117, 4atbase 34042 . . . . . . 7 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
23 simp22 1093 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝑄𝐴)
2417, 4atbase 34042 . . . . . . 7 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
2523, 24syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
26 simp3 1061 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))
2717, 1, 2latnlej1l 16985 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝑆𝑃)
2827necomd 2851 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝑃𝑆)
2916, 19, 22, 25, 26, 28syl131anc 1336 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝑃𝑆)
301, 2, 3, 4, 5, 8cdleme9a 35004 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑆𝐴𝑃𝑆)) → 𝐶𝐴)
3112, 13, 14, 29, 30syl112anc 1327 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝐶𝐴)
321, 2, 3, 4, 5, 6, 17cdleme0aa 34963 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
3312, 20, 23, 32syl3anc 1323 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
3417, 2latjcl 16967 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑆 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
3516, 19, 33, 34syl3anc 1323 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝑆 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
3617, 2, 4hlatjcl 34119 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝐶𝐴) → (𝑄 𝐶) ∈ (Base‘𝐾))
3711, 23, 31, 36syl3anc 1323 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝑄 𝐶) ∈ (Base‘𝐾))
381, 2, 4hlatlej2 34128 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝐶𝐴) → 𝐶 (𝑄 𝐶))
3911, 23, 31, 38syl3anc 1323 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝐶 (𝑄 𝐶))
4017, 1, 2, 3, 4atmod4i1 34618 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐶𝐴 ∧ (𝑆 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝐶) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐶 (𝑄 𝐶)) → (((𝑆 𝑈) (𝑄 𝐶)) 𝐶) = (((𝑆 𝑈) 𝐶) (𝑄 𝐶)))
4111, 31, 35, 37, 39, 40syl131anc 1336 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (((𝑆 𝑈) (𝑄 𝐶)) 𝐶) = (((𝑆 𝑈) 𝐶) (𝑄 𝐶)))
4217, 2, 4hlatjcl 34119 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑆𝐴) → (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
4311, 20, 14, 42syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
44 simp1r 1084 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝑊𝐻)
4517, 5lhpbase 34750 . . . . . . . . . 10 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
471, 2, 4hlatlej2 34128 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑆𝐴) → 𝑆 (𝑃 𝑆))
4811, 20, 14, 47syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝑆 (𝑃 𝑆))
4917, 1, 2, 3, 4atmod3i1 34616 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑆)) → (𝑆 ((𝑃 𝑆) 𝑊)) = ((𝑃 𝑆) (𝑆 𝑊)))
5011, 14, 43, 46, 48, 49syl131anc 1336 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝑆 ((𝑃 𝑆) 𝑊)) = ((𝑃 𝑆) (𝑆 𝑊)))
51 simp23r 1181 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → ¬ 𝑆 𝑊)
52 eqid 2626 . . . . . . . . . . 11 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
531, 2, 52, 4, 5lhpjat2 34773 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑆 𝑊) = (1.‘𝐾))
5412, 14, 51, 53syl12anc 1321 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝑆 𝑊) = (1.‘𝐾))
5554oveq2d 6621 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → ((𝑃 𝑆) (𝑆 𝑊)) = ((𝑃 𝑆) (1.‘𝐾)))
56 hlol 34114 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
5711, 56syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝐾 ∈ OL)
5817, 3, 52olm11 33980 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑆) (1.‘𝐾)) = (𝑃 𝑆))
5957, 43, 58syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → ((𝑃 𝑆) (1.‘𝐾)) = (𝑃 𝑆))
6050, 55, 593eqtrrd 2665 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝑃 𝑆) = (𝑆 ((𝑃 𝑆) 𝑊)))
618oveq2i 6616 . . . . . . 7 (𝑆 𝐶) = (𝑆 ((𝑃 𝑆) 𝑊))
6260, 61syl6reqr 2679 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝑆 𝐶) = (𝑃 𝑆))
6362oveq1d 6620 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → ((𝑆 𝐶) 𝑈) = ((𝑃 𝑆) 𝑈))
6417, 4atbase 34042 . . . . . . 7 (𝐶𝐴𝐶 ∈ (Base‘𝐾))
6531, 64syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝐶 ∈ (Base‘𝐾))
6617, 2latj32 17013 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑆 𝑈) 𝐶) = ((𝑆 𝐶) 𝑈))
6716, 19, 33, 65, 66syl13anc 1325 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → ((𝑆 𝑈) 𝐶) = ((𝑆 𝐶) 𝑈))
682, 4hlatj32 34124 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑄𝐴)) → ((𝑃 𝑆) 𝑄) = ((𝑃 𝑄) 𝑆))
6911, 20, 14, 23, 68syl13anc 1325 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → ((𝑃 𝑆) 𝑄) = ((𝑃 𝑄) 𝑆))
7017, 2latjcom 16975 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 (𝑃 𝑆)) = ((𝑃 𝑆) 𝑄))
7116, 25, 43, 70syl3anc 1323 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝑄 (𝑃 𝑆)) = ((𝑃 𝑆) 𝑄))
726oveq2i 6616 . . . . . . . . 9 (𝑃 𝑈) = (𝑃 ((𝑃 𝑄) 𝑊))
7317, 2, 4hlatjcl 34119 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
7411, 20, 23, 73syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
751, 2, 4hlatlej1 34127 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑃 (𝑃 𝑄))
7611, 20, 23, 75syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝑃 (𝑃 𝑄))
7717, 1, 2, 3, 4atmod3i1 34616 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑃 (𝑃 𝑄)) → (𝑃 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) = ((𝑃 𝑄) (𝑃 𝑊)))
7811, 20, 74, 46, 76, 77syl131anc 1336 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝑃 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) = ((𝑃 𝑄) (𝑃 𝑊)))
791, 2, 52, 4, 5lhpjat2 34773 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 𝑊) = (1.‘𝐾))
8012, 13, 79syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝑃 𝑊) = (1.‘𝐾))
8180oveq2d 6621 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → ((𝑃 𝑄) (𝑃 𝑊)) = ((𝑃 𝑄) (1.‘𝐾)))
8217, 3, 52olm11 33980 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) (1.‘𝐾)) = (𝑃 𝑄))
8357, 74, 82syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → ((𝑃 𝑄) (1.‘𝐾)) = (𝑃 𝑄))
8478, 81, 833eqtrd 2664 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝑃 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) = (𝑃 𝑄))
8572, 84syl5eq 2672 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝑃 𝑈) = (𝑃 𝑄))
8685oveq1d 6620 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → ((𝑃 𝑈) 𝑆) = ((𝑃 𝑄) 𝑆))
8769, 71, 863eqtr4d 2670 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝑄 (𝑃 𝑆)) = ((𝑃 𝑈) 𝑆))
8817, 2latj32 17013 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 𝑈) 𝑆) = ((𝑃 𝑆) 𝑈))
8916, 22, 33, 19, 88syl13anc 1325 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → ((𝑃 𝑈) 𝑆) = ((𝑃 𝑆) 𝑈))
9087, 89eqtrd 2660 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝑄 (𝑃 𝑆)) = ((𝑃 𝑆) 𝑈))
9163, 67, 903eqtr4d 2670 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → ((𝑆 𝑈) 𝐶) = (𝑄 (𝑃 𝑆)))
9291oveq1d 6620 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (((𝑆 𝑈) 𝐶) (𝑄 𝐶)) = ((𝑄 (𝑃 𝑆)) (𝑄 𝐶)))
9317, 1, 3latmle1 16992 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑆) 𝑊) (𝑃 𝑆))
9416, 43, 46, 93syl3anc 1323 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → ((𝑃 𝑆) 𝑊) (𝑃 𝑆))
958, 94syl5eqbr 4653 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝐶 (𝑃 𝑆))
9617, 1, 2latjlej2 16982 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐶 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝐶 (𝑃 𝑆) → (𝑄 𝐶) (𝑄 (𝑃 𝑆))))
9716, 65, 43, 25, 96syl13anc 1325 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝐶 (𝑃 𝑆) → (𝑄 𝐶) (𝑄 (𝑃 𝑆))))
9895, 97mpd 15 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝑄 𝐶) (𝑄 (𝑃 𝑆)))
9917, 2latjcl 16967 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 (𝑃 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
10016, 25, 43, 99syl3anc 1323 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝑄 (𝑃 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
10117, 1, 3latleeqm2 16996 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 𝐶) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 (𝑃 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 𝐶) (𝑄 (𝑃 𝑆)) ↔ ((𝑄 (𝑃 𝑆)) (𝑄 𝐶)) = (𝑄 𝐶)))
10216, 37, 100, 101syl3anc 1323 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → ((𝑄 𝐶) (𝑄 (𝑃 𝑆)) ↔ ((𝑄 (𝑃 𝑆)) (𝑄 𝐶)) = (𝑄 𝐶)))
10398, 102mpbid 222 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → ((𝑄 (𝑃 𝑆)) (𝑄 𝐶)) = (𝑄 𝐶))
10441, 92, 1033eqtrd 2664 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (((𝑆 𝑈) (𝑄 𝐶)) 𝐶) = (𝑄 𝐶))
10510, 104syl5eq 2672 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝐹 𝐶) = (𝑄 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605  Basecbs 15776  lecple 15864  joincjn 16860  meetcmee 16861  1.cp1 16954  Latclat 16961  OLcol 33927  Atomscatm 34016  HLchlt 34103  LHypclh 34736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-preset 16844  df-poset 16862  df-plt 16874  df-lub 16890  df-glb 16891  df-join 16892  df-meet 16893  df-p0 16955  df-p1 16956  df-lat 16962  df-clat 17024  df-oposet 33929  df-ol 33931  df-oml 33932  df-covers 34019  df-ats 34020  df-atl 34051  df-cvlat 34075  df-hlat 34104  df-psubsp 34255  df-pmap 34256  df-padd 34548  df-lhyp 34740
This theorem is referenced by:  cdleme9tN  35010  cdleme17a  35039
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