Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme9b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme9b 35016
Description: Utility lemma for Lemma E in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 9-Oct-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme9b.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleme9b.j = (join‘𝐾)
cdleme9b.m = (meet‘𝐾)
cdleme9b.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme9b.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme9b.c 𝐶 = ((𝑃 𝑆) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdleme9b ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑊𝐻)) → 𝐶𝐵)

Proof of Theorem cdleme9b
StepHypRef Expression
1 cdleme9b.c . 2 𝐶 = ((𝑃 𝑆) 𝑊)
2 hllat 34127 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
32adantr 481 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑊𝐻)) → 𝐾 ∈ Lat)
4 cdleme9b.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 cdleme9b.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
6 cdleme9b.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
74, 5, 6hlatjcl 34130 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑆𝐴) → (𝑃 𝑆) ∈ 𝐵)
873adant3r3 1273 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑊𝐻)) → (𝑃 𝑆) ∈ 𝐵)
9 simpr3 1067 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑊𝐻)) → 𝑊𝐻)
10 cdleme9b.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
114, 10lhpbase 34761 . . . 4 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
129, 11syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑊𝐻)) → 𝑊𝐵)
13 cdleme9b.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
144, 13latmcl 16973 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑆) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((𝑃 𝑆) 𝑊) ∈ 𝐵)
153, 8, 12, 14syl3anc 1323 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑊𝐻)) → ((𝑃 𝑆) 𝑊) ∈ 𝐵)
161, 15syl5eqel 2702 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑊𝐻)) → 𝐶𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  joincjn 16865  meetcmee 16866  Latclat 16966  Atomscatm 34027  HLchlt 34114  LHypclh 34747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-lub 16895  df-glb 16896  df-join 16897  df-meet 16898  df-lat 16967  df-ats 34031  df-atl 34062  df-cvlat 34086  df-hlat 34115  df-lhyp 34751
This theorem is referenced by:  cdleme15b  35039  cdleme17b  35051
  Copyright terms: Public domain W3C validator