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Theorem cdlemednpq 35087
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Utility lemma. 𝐷 represents s2. (Contributed by NM, 18-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemeda.l = (le‘𝐾)
cdlemeda.j = (join‘𝐾)
cdlemeda.m = (meet‘𝐾)
cdlemeda.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemeda.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemeda.d 𝐷 = ((𝑅 𝑆) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemednpq (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝐷 (𝑃 𝑄))

Proof of Theorem cdlemednpq
StepHypRef Expression
1 cdlemeda.d . . . 4 𝐷 = ((𝑅 𝑆) 𝑊)
2 simp1l 1083 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ HL)
3 hllat 34151 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
42, 3syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simp23l 1180 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑅𝐴)
6 simp31l 1182 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑆𝐴)
7 eqid 2621 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8 cdlemeda.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
9 cdlemeda.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
107, 8, 9hlatjcl 34154 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴) → (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
112, 5, 6, 10syl3anc 1323 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
12 simp1r 1084 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑊𝐻)
13 cdlemeda.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
147, 13lhpbase 34785 . . . . . 6 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
1512, 14syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
16 cdlemeda.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
17 cdlemeda.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
187, 16, 17latmle2 17001 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅 𝑆) 𝑊) 𝑊)
194, 11, 15, 18syl3anc 1323 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ((𝑅 𝑆) 𝑊) 𝑊)
201, 19syl5eqbr 4650 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝐷 𝑊)
21 simp23r 1181 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝑅 𝑊)
22 nbrne2 4635 . . 3 ((𝐷 𝑊 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) → 𝐷𝑅)
2320, 21, 22syl2anc 692 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝐷𝑅)
244adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝐷 (𝑃 𝑄)) → 𝐾 ∈ Lat)
2511adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝐷 (𝑃 𝑄)) → (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
2615adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝐷 (𝑃 𝑄)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
277, 16, 17latmle1 17000 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅 𝑆) 𝑊) (𝑅 𝑆))
2824, 25, 26, 27syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝐷 (𝑃 𝑄)) → ((𝑅 𝑆) 𝑊) (𝑅 𝑆))
291, 28syl5eqbr 4650 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝐷 (𝑃 𝑄)) → 𝐷 (𝑅 𝑆))
30 simpr 477 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝐷 (𝑃 𝑄)) → 𝐷 (𝑃 𝑄))
31 simp31r 1183 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝑆 𝑊)
32 simp32 1096 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑅 (𝑃 𝑄))
33 simp33 1097 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))
3416, 8, 17, 9, 13, 1cdlemeda 35086 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑅𝐴𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝐷𝐴)
352, 12, 6, 31, 5, 32, 33, 34syl223anc 1349 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝐷𝐴)
367, 9atbase 34077 . . . . . . . . . 10 (𝐷𝐴𝐷 ∈ (Base‘𝐾))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝐷 ∈ (Base‘𝐾))
3837adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝐷 (𝑃 𝑄)) → 𝐷 ∈ (Base‘𝐾))
39 simp21 1092 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑃𝐴)
40 simp22 1093 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑄𝐴)
417, 8, 9hlatjcl 34154 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
422, 39, 40, 41syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
4342adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝐷 (𝑃 𝑄)) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
447, 16, 17latlem12 17002 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐷 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝐷 (𝑅 𝑆) ∧ 𝐷 (𝑃 𝑄)) ↔ 𝐷 ((𝑅 𝑆) (𝑃 𝑄))))
4524, 38, 25, 43, 44syl13anc 1325 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝐷 (𝑃 𝑄)) → ((𝐷 (𝑅 𝑆) ∧ 𝐷 (𝑃 𝑄)) ↔ 𝐷 ((𝑅 𝑆) (𝑃 𝑄))))
4629, 30, 45mpbi2and 955 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝐷 (𝑃 𝑄)) → 𝐷 ((𝑅 𝑆) (𝑃 𝑄)))
47 hlatl 34148 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
482, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ AtLat)
49 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
507, 16, 17, 49, 9atnle 34105 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ↔ (𝑆 (𝑃 𝑄)) = (0.‘𝐾)))
5148, 6, 42, 50syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ↔ (𝑆 (𝑃 𝑄)) = (0.‘𝐾)))
5233, 51mpbid 222 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑆 (𝑃 𝑄)) = (0.‘𝐾))
5352oveq2d 6623 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑅 (𝑆 (𝑃 𝑄))) = (𝑅 (0.‘𝐾)))
547, 9atbase 34077 . . . . . . . . . 10 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
556, 54syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
567, 16, 8, 17, 9atmod1i1 34644 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) → (𝑅 (𝑆 (𝑃 𝑄))) = ((𝑅 𝑆) (𝑃 𝑄)))
572, 5, 55, 42, 32, 56syl131anc 1336 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑅 (𝑆 (𝑃 𝑄))) = ((𝑅 𝑆) (𝑃 𝑄)))
58 hlol 34149 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
592, 58syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ OL)
607, 9atbase 34077 . . . . . . . . . 10 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
615, 60syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
627, 8, 49olj01 34013 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑅 (0.‘𝐾)) = 𝑅)
6359, 61, 62syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑅 (0.‘𝐾)) = 𝑅)
6453, 57, 633eqtr3d 2663 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ((𝑅 𝑆) (𝑃 𝑄)) = 𝑅)
6564adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝐷 (𝑃 𝑄)) → ((𝑅 𝑆) (𝑃 𝑄)) = 𝑅)
6646, 65breqtrd 4641 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝐷 (𝑃 𝑄)) → 𝐷 𝑅)
6766ex 450 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝐷 (𝑃 𝑄) → 𝐷 𝑅))
6816, 9atcmp 34099 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝐷𝐴𝑅𝐴) → (𝐷 𝑅𝐷 = 𝑅))
6948, 35, 5, 68syl3anc 1323 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝐷 𝑅𝐷 = 𝑅))
7067, 69sylibd 229 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝐷 (𝑃 𝑄) → 𝐷 = 𝑅))
7170necon3ad 2803 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝐷𝑅 → ¬ 𝐷 (𝑃 𝑄)))
7223, 71mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝐷 (𝑃 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4615  cfv 5849  (class class class)co 6607  Basecbs 15784  lecple 15872  joincjn 16868  meetcmee 16869  0.cp0 16961  Latclat 16969  OLcol 33962  Atomscatm 34051  AtLatcal 34052  HLchlt 34138  LHypclh 34771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-iin 4490  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-id 4991  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-preset 16852  df-poset 16870  df-plt 16882  df-lub 16898  df-glb 16899  df-join 16900  df-meet 16901  df-p0 16963  df-p1 16964  df-lat 16970  df-clat 17032  df-oposet 33964  df-ol 33966  df-oml 33967  df-covers 34054  df-ats 34055  df-atl 34086  df-cvlat 34110  df-hlat 34139  df-psubsp 34290  df-pmap 34291  df-padd 34583  df-lhyp 34775
This theorem is referenced by:  cdlemednuN  35088  cdleme20k  35108
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