Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemefr27cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemefr27cl 34507
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Closure of 𝑁. (Contributed by NM, 23-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemefr27.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemefr27.l = (le‘𝐾)
cdlemefr27.j = (join‘𝐾)
cdlemefr27.m = (meet‘𝐾)
cdlemefr27.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemefr27.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemefr27.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
cdlemefr27.c 𝐶 = ((𝑠 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑠) 𝑊)))
cdlemefr27.n 𝑁 = if(𝑠 (𝑃 𝑄), 𝐼, 𝐶)
Assertion
Ref Expression
cdlemefr27cl ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) → 𝑁𝐵)

Proof of Theorem cdlemefr27cl
StepHypRef Expression
1 cdlemefr27.n . . 3 𝑁 = if(𝑠 (𝑃 𝑄), 𝐼, 𝐶)
2 simpr2 1060 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) → ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄))
32iffalsed 4041 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) → if(𝑠 (𝑃 𝑄), 𝐼, 𝐶) = 𝐶)
41, 3syl5eq 2650 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) → 𝑁 = 𝐶)
5 simpl1l 1104 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) → 𝐾 ∈ HL)
6 simpl1r 1105 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) → 𝑊𝐻)
7 simpl2 1057 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) → 𝑃𝐴)
8 simpl3 1058 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) → 𝑄𝐴)
9 simpr1 1059 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) → 𝑠𝐴)
10 cdlemefr27.l . . . 4 = (le‘𝐾)
11 cdlemefr27.j . . . 4 = (join‘𝐾)
12 cdlemefr27.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
13 cdlemefr27.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
14 cdlemefr27.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
15 cdlemefr27.u . . . 4 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
16 cdlemefr27.c . . . 4 𝐶 = ((𝑠 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑠) 𝑊)))
17 cdlemefr27.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
1810, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdleme1b 34329 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑠𝐴)) → 𝐶𝐵)
195, 6, 7, 8, 9, 18syl23anc 1324 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) → 𝐶𝐵)
204, 19eqeltrd 2682 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) → 𝑁𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2774  ifcif 4030   class class class wbr 4572  cfv 5785  (class class class)co 6522  Basecbs 15636  lecple 15716  joincjn 16708  meetcmee 16709  Atomscatm 33366  HLchlt 33453  LHypclh 34086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-op 4126  df-uni 4362  df-iun 4446  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-id 4938  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-lub 16738  df-glb 16739  df-join 16740  df-meet 16741  df-lat 16810  df-ats 33370  df-atl 33401  df-cvlat 33425  df-hlat 33454  df-lhyp 34090
This theorem is referenced by:  cdlemefr29bpre0N  34510  cdlemefr29clN  34511  cdlemefr32fvaN  34513  cdlemefr32fva1  34514
  Copyright terms: Public domain W3C validator