Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemeiota Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemeiota 36190
Description: A translation is uniquely determined by one of its values. (Contributed by NM, 18-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg1c.l = (le‘𝐾)
cdlemg1c.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg1c.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg1c.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemeiota (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = (𝐹𝑃)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   ,𝑓   𝑃,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊

Proof of Theorem cdlemeiota
StepHypRef Expression
1 eqidd 2652 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹𝑃) = (𝐹𝑃))
2 simp3 1083 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
3 cdlemg1c.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
4 cdlemg1c.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 cdlemg1c.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 cdlemg1c.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
73, 4, 5, 6ltrnel 35743 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
873com23 1291 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
93, 4, 5, 6cdleme 36165 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊)) → ∃!𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = (𝐹𝑃))
108, 9syld3an3 1411 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) → ∃!𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = (𝐹𝑃))
11 fveq1 6228 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑃) = (𝐹𝑃))
1211eqeq1d 2653 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓𝑃) = (𝐹𝑃) ↔ (𝐹𝑃) = (𝐹𝑃)))
1312riota2 6673 . . . 4 ((𝐹𝑇 ∧ ∃!𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = (𝐹𝑃)) → ((𝐹𝑃) = (𝐹𝑃) ↔ (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = (𝐹𝑃)) = 𝐹))
142, 10, 13syl2anc 694 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝐹𝑃) = (𝐹𝑃) ↔ (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = (𝐹𝑃)) = 𝐹))
151, 14mpbid 222 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = (𝐹𝑃)) = 𝐹)
1615eqcomd 2657 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = (𝐹𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  ∃!wreu 2943   class class class wbr 4685  cfv 5926  crio 6650  lecple 15995  Atomscatm 34868  HLchlt 34955  LHypclh 35588  LTrncltrn 35705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-riotaBAD 34557
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-undef 7444  df-map 7901  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-llines 35102  df-lplanes 35103  df-lvols 35104  df-lines 35105  df-psubsp 35107  df-pmap 35108  df-padd 35400  df-lhyp 35592  df-laut 35593  df-ldil 35708  df-ltrn 35709  df-trl 35764
This theorem is referenced by:  cdlemg1cN  36192  cdlemg1cex  36193  cdlemm10N  36724
  Copyright terms: Public domain W3C validator