Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemeulpq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemeulpq 34349
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 5-Dec-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme0.l = (le‘𝐾)
cdleme0.j = (join‘𝐾)
cdleme0.m = (meet‘𝐾)
cdleme0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme0.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemeulpq (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑈 (𝑃 𝑄))

Proof of Theorem cdlemeulpq
StepHypRef Expression
1 cdleme0.u . 2 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
2 simpll 785 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
3 hllat 33492 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
42, 3syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simprl 789 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑃𝐴)
6 simprr 791 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑄𝐴)
7 eqid 2609 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8 cdleme0.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
9 cdleme0.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
107, 8, 9hlatjcl 33495 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
112, 5, 6, 10syl3anc 1317 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴)) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
12 cdleme0.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
137, 12lhpbase 34126 . . . 4 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
1413ad2antlr 758 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
15 cdleme0.l . . . 4 = (le‘𝐾)
16 cdleme0.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
177, 15, 16latmle1 16848 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) (𝑃 𝑄))
184, 11, 14, 17syl3anc 1317 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴)) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) (𝑃 𝑄))
191, 18syl5eqbr 4612 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑈 (𝑃 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15644  lecple 15724  joincjn 16716  meetcmee 16717  Latclat 16817  Atomscatm 33392  HLchlt 33479  LHypclh 34112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-lub 16746  df-glb 16747  df-join 16748  df-meet 16749  df-lat 16818  df-ats 33396  df-atl 33427  df-cvlat 33451  df-hlat 33480  df-lhyp 34116
This theorem is referenced by:  cdleme01N  34350  cdleme0ex1N  34352  cdleme1  34356  cdlemednuN  34429  cdleme21c  34457  cdleme22e  34474  cdleme22eALTN  34475  cdleme35fnpq  34579
  Copyright terms: Public domain W3C validator