Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemftr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemftr2 35334
Description: Special case of cdlemf 35331 showing existence of non-identity translation with trace different from any 2 given lattice elements. (Contributed by NM, 25-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemftr.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemftr.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemftr.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemftr.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemftr2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑅,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem cdlemftr2
StepHypRef Expression
1 cdlemftr.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cdlemftr.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 cdlemftr.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4 cdlemftr.r . . 3 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
51, 2, 3, 4cdlemftr3 35333 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌)))
6 simpl 473 . . . 4 ((𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌)) → 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))
7 simpr1 1065 . . . 4 ((𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌)) → (𝑅𝑓) ≠ 𝑋)
8 simpr2 1066 . . . 4 ((𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌)) → (𝑅𝑓) ≠ 𝑌)
96, 7, 83jca 1240 . . 3 ((𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌)) → (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌))
109reximi 3005 . 2 (∃𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌)) → ∃𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌))
115, 10syl 17 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908   I cid 4984  cres 5076  cfv 5847  Basecbs 15781  HLchlt 34117  LHypclh 34750  LTrncltrn 34867  trLctrl 34925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-riotaBAD 33719
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-undef 7344  df-map 7804  df-preset 16849  df-poset 16867  df-plt 16879  df-lub 16895  df-glb 16896  df-join 16897  df-meet 16898  df-p0 16960  df-p1 16961  df-lat 16967  df-clat 17029  df-oposet 33943  df-ol 33945  df-oml 33946  df-covers 34033  df-ats 34034  df-atl 34065  df-cvlat 34089  df-hlat 34118  df-llines 34264  df-lplanes 34265  df-lvols 34266  df-lines 34267  df-psubsp 34269  df-pmap 34270  df-padd 34562  df-lhyp 34754  df-laut 34755  df-ldil 34870  df-ltrn 34871  df-trl 34926
This theorem is referenced by:  cdlemftr1  35335  cdlemk26b-3  35673  cdlemk29-3  35679  cdlemk38  35683  cdlemkid5  35703  cdlemkid  35704  cdlemk55b  35728
  Copyright terms: Public domain W3C validator