Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemftr3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemftr3 35372
 Description: Special case of cdlemf 35370 showing existence of non-identity translation with trace different from any 3 given lattice elements. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemftr.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemftr.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemftr.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemftr.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemftr3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑍)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   𝑓,𝑍   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑅,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem cdlemftr3
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2 eqid 2621 . . . . 5 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3 cdlemftr.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
41, 2, 3lhpexle3 34817 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)))
5 df-rex 2914 . . . 4 (∃𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍))))
64, 5sylib 208 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑢(𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍))))
7 cdlemftr.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 cdlemftr.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9 cdlemftr.r . . . . . . . . 9 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
107, 1, 2, 3, 8, 9cdlemfnid 35371 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑢(le‘𝐾)𝑊)) → ∃𝑓𝑇 ((𝑅𝑓) = 𝑢𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
1110adantrrr 760 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)))) → ∃𝑓𝑇 ((𝑅𝑓) = 𝑢𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
12 eqcom 2628 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑓) = 𝑢𝑢 = (𝑅𝑓))
1312anbi1i 730 . . . . . . . 8 (((𝑅𝑓) = 𝑢𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ↔ (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
1413rexbii 3036 . . . . . . 7 (∃𝑓𝑇 ((𝑅𝑓) = 𝑢𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ↔ ∃𝑓𝑇 (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
1511, 14sylib 208 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)))) → ∃𝑓𝑇 (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
16 simprrr 804 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)))) → (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍))
1715, 16jca 554 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)))) → (∃𝑓𝑇 (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)))
1817ex 450 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍))) → (∃𝑓𝑇 (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍))))
1918eximdv 1843 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (∃𝑢(𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍))) → ∃𝑢(∃𝑓𝑇 (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍))))
206, 19mpd 15 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑢(∃𝑓𝑇 (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)))
21 rexcom4 3215 . . 3 (∃𝑓𝑇𝑢((𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)) ↔ ∃𝑢𝑓𝑇 ((𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)))
22 anass 680 . . . . . 6 (((𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)) ↔ (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍))))
2322exbii 1771 . . . . 5 (∃𝑢((𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)) ↔ ∃𝑢(𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍))))
24 fvex 6168 . . . . . 6 (𝑅𝑓) ∈ V
25 neeq1 2852 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑅𝑓) → (𝑢𝑋 ↔ (𝑅𝑓) ≠ 𝑋))
26 neeq1 2852 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑅𝑓) → (𝑢𝑌 ↔ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌))
27 neeq1 2852 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑅𝑓) → (𝑢𝑍 ↔ (𝑅𝑓) ≠ 𝑍))
2825, 26, 273anbi123d 1396 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑅𝑓) → ((𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍) ↔ ((𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑍)))
2928anbi2d 739 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑅𝑓) → ((𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)) ↔ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑍))))
3024, 29ceqsexv 3232 . . . . 5 (∃𝑢(𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍))) ↔ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑍)))
3123, 30bitri 264 . . . 4 (∃𝑢((𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)) ↔ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑍)))
3231rexbii 3036 . . 3 (∃𝑓𝑇𝑢((𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)) ↔ ∃𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑍)))
33 r19.41v 3083 . . . 4 (∃𝑓𝑇 ((𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)) ↔ (∃𝑓𝑇 (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)))
3433exbii 1771 . . 3 (∃𝑢𝑓𝑇 ((𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)) ↔ ∃𝑢(∃𝑓𝑇 (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)))
3521, 32, 343bitr3ri 291 . 2 (∃𝑢(∃𝑓𝑇 (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)) ↔ ∃𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑍)))
3620, 35sylib 208 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑍)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480  ∃wex 1701   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∃wrex 2909   class class class wbr 4623   I cid 4994   ↾ cres 5086  ‘cfv 5857  Basecbs 15800  lecple 15888  Atomscatm 34069  HLchlt 34156  LHypclh 34789  LTrncltrn 34906  trLctrl 34964 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-riotaBAD 33758 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-undef 7359  df-map 7819  df-preset 16868  df-poset 16886  df-plt 16898  df-lub 16914  df-glb 16915  df-join 16916  df-meet 16917  df-p0 16979  df-p1 16980  df-lat 16986  df-clat 17048  df-oposet 33982  df-ol 33984  df-oml 33985  df-covers 34072  df-ats 34073  df-atl 34104  df-cvlat 34128  df-hlat 34157  df-llines 34303  df-lplanes 34304  df-lvols 34305  df-lines 34306  df-psubsp 34308  df-pmap 34309  df-padd 34601  df-lhyp 34793  df-laut 34794  df-ldil 34909  df-ltrn 34910  df-trl 34965 This theorem is referenced by:  cdlemftr2  35373  cdlemk26-3  35713  cdlemk11t  35753
 Copyright terms: Public domain W3C validator