Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg10a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg10a 37656
Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 3-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg8.l = (le‘𝐾)
cdlemg8.j = (join‘𝐾)
cdlemg8.m = (meet‘𝐾)
cdlemg8.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg8.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg8.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg10.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg10a ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) (𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄)))) ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))

Proof of Theorem cdlemg10a
StepHypRef Expression
1 simp11 1195 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp12 1196 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
3 simp13 1197 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
4 simp21 1198 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))) → 𝐹𝑇)
5 simp22 1199 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))) → 𝐺𝑇)
6 simp23 1200 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))) → 𝑃𝑄)
7 simp31 1201 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))) → ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄))
8 cdlemg8.l . . . 4 = (le‘𝐾)
9 cdlemg8.j . . . 4 = (join‘𝐾)
10 cdlemg8.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
11 cdlemg8.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
12 cdlemg8.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
13 cdlemg8.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
148, 9, 10, 11, 12, 13cdlemg9 37650 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝑃𝑄 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) (𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄)))) ((((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐺𝑃)) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) (𝐺𝑄))) (((𝐺𝑃) 𝑃) ((𝐺𝑄) 𝑄))))
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 14syl133anc 1385 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) (𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄)))) ((((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐺𝑃)) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) (𝐺𝑄))) (((𝐺𝑃) 𝑃) ((𝐺𝑄) 𝑄))))
168, 11, 12, 13ltrnel 37155 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑃) 𝑊))
171, 5, 2, 16syl3anc 1363 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))) → ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑃) 𝑊))
188, 11, 12, 13ltrnel 37155 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → ((𝐺𝑄) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑄) 𝑊))
191, 5, 3, 18syl3anc 1363 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))) → ((𝐺𝑄) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑄) 𝑊))
20 simp12l 1278 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))) → 𝑃𝐴)
21 simp13l 1280 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))) → 𝑄𝐴)
2211, 12, 13ltrn11at 37163 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄)) → (𝐺𝑃) ≠ (𝐺𝑄))
231, 5, 20, 21, 6, 22syl113anc 1374 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))) → (𝐺𝑃) ≠ (𝐺𝑄))
24 simp32 1202 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))) → ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄))
25 cdlemg10.r . . . . . . . 8 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
268, 9, 10, 11, 12, 13, 25cdlemg10c 37655 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑅𝐹) ((𝐺𝑃) (𝐺𝑄)) ↔ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄)))
271, 2, 3, 4, 5, 26syl122anc 1371 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))) → ((𝑅𝐹) ((𝐺𝑃) (𝐺𝑄)) ↔ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄)))
2824, 27mtbird 326 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))) → ¬ (𝑅𝐹) ((𝐺𝑃) (𝐺𝑄)))
298, 9, 10, 11, 12, 13, 25trlval4 37204 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇 ∧ ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑃) 𝑊) ∧ ((𝐺𝑄) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑄) 𝑊)) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ (𝐺𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐹) ((𝐺𝑃) (𝐺𝑄)))) → (𝑅𝐹) = (((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) ((𝐺𝑄) (𝐹‘(𝐺𝑄)))))
301, 4, 17, 19, 23, 28, 29syl132anc 1380 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))) → (𝑅𝐹) = (((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) ((𝐺𝑄) (𝐹‘(𝐺𝑄)))))
31 simp11l 1276 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ HL)
328, 11, 12, 13ltrnat 37156 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝑃𝐴) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
331, 5, 20, 32syl3anc 1363 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
348, 11, 12, 13ltrnat 37156 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ 𝐴)
351, 4, 33, 34syl3anc 1363 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ 𝐴)
369, 11hlatjcom 36384 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ 𝐴) → ((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) = ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐺𝑃)))
3731, 33, 35, 36syl3anc 1363 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))) → ((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) = ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐺𝑃)))
388, 11, 12, 13ltrnat 37156 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝑄𝐴) → (𝐺𝑄) ∈ 𝐴)
391, 5, 21, 38syl3anc 1363 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))) → (𝐺𝑄) ∈ 𝐴)
408, 11, 12, 13ltrnat 37156 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝐺𝑄) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝐺𝑄)) ∈ 𝐴)
411, 4, 39, 40syl3anc 1363 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))) → (𝐹‘(𝐺𝑄)) ∈ 𝐴)
429, 11hlatjcom 36384 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐺𝑄) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘(𝐺𝑄)) ∈ 𝐴) → ((𝐺𝑄) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = ((𝐹‘(𝐺𝑄)) (𝐺𝑄)))
4331, 39, 41, 42syl3anc 1363 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))) → ((𝐺𝑄) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = ((𝐹‘(𝐺𝑄)) (𝐺𝑄)))
4437, 43oveq12d 7163 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))) → (((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) ((𝐺𝑄) (𝐹‘(𝐺𝑄)))) = (((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐺𝑃)) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) (𝐺𝑄))))
4530, 44eqtrd 2853 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))) → (𝑅𝐹) = (((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐺𝑃)) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) (𝐺𝑄))))
46 simp33 1203 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))) → ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))
478, 9, 10, 11, 12, 13, 25trlval4 37204 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))) → (𝑅𝐺) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝑄 (𝐺𝑄))))
481, 5, 2, 3, 6, 46, 47syl132anc 1380 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))) → (𝑅𝐺) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝑄 (𝐺𝑄))))
499, 11hlatjcom 36384 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝐴) → (𝑃 (𝐺𝑃)) = ((𝐺𝑃) 𝑃))
5031, 20, 33, 49syl3anc 1363 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))) → (𝑃 (𝐺𝑃)) = ((𝐺𝑃) 𝑃))
519, 11hlatjcom 36384 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝐺𝑄) ∈ 𝐴) → (𝑄 (𝐺𝑄)) = ((𝐺𝑄) 𝑄))
5231, 21, 39, 51syl3anc 1363 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))) → (𝑄 (𝐺𝑄)) = ((𝐺𝑄) 𝑄))
5350, 52oveq12d 7163 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))) → ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝑄 (𝐺𝑄))) = (((𝐺𝑃) 𝑃) ((𝐺𝑄) 𝑄)))
5448, 53eqtrd 2853 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))) → (𝑅𝐺) = (((𝐺𝑃) 𝑃) ((𝐺𝑄) 𝑄)))
5545, 54oveq12d 7163 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) = ((((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐺𝑃)) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) (𝐺𝑄))) (((𝐺𝑃) 𝑃) ((𝐺𝑄) 𝑄))))
5615, 55breqtrrd 5085 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) (𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄)))) ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  lecple 16560  joincjn 17542  meetcmee 17543  Atomscatm 36279  HLchlt 36366  LHypclh 37000  LTrncltrn 37117  trLctrl 37174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-riotaBAD 35969
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-undef 7928  df-map 8397  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-clat 17706  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-llines 36514  df-lplanes 36515  df-lvols 36516  df-lines 36517  df-psubsp 36519  df-pmap 36520  df-padd 36812  df-lhyp 37004  df-laut 37005  df-ldil 37120  df-ltrn 37121  df-trl 37175
This theorem is referenced by:  cdlemg10  37657
  Copyright terms: Public domain W3C validator