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Theorem cdlemg12e 35401
Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 6-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l = (le‘𝐾)
cdlemg12.j = (join‘𝐾)
cdlemg12.m = (meet‘𝐾)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg12e.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdlemg12e ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) ≠ 0 )

Proof of Theorem cdlemg12e
StepHypRef Expression
1 simp33 1097 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))
2 simpl1 1062 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)))
3 simpl21 1137 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → 𝐹𝑇)
4 simpl22 1138 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → 𝐺𝑇)
5 simpl23 1139 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → 𝑃𝑄)
6 simpl31 1140 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄))
7 simpl32 1141 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))
8 cdlemg12.l . . . . . . . . 9 = (le‘𝐾)
9 cdlemg12.j . . . . . . . . 9 = (join‘𝐾)
10 cdlemg12.m . . . . . . . . 9 = (meet‘𝐾)
11 cdlemg12.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
12 cdlemg12.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
13 cdlemg12.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14 cdlemg12b.r . . . . . . . . 9 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
158, 9, 10, 11, 12, 13, 14cdlemg12d 35400 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))) → (𝑅𝐺) ((𝑅𝐹) (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄))))
162, 3, 4, 5, 6, 7, 15syl123anc 1340 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → (𝑅𝐺) ((𝑅𝐹) (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄))))
17 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 )
1817oveq2d 6621 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → ((𝑅𝐹) (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄))) = ((𝑅𝐹) 0 ))
19 simp11l 1170 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐾 ∈ HL)
2019adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → 𝐾 ∈ HL)
21 hlol 34114 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → 𝐾 ∈ OL)
23 simpl11 1134 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
24 eqid 2626 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2524, 12, 13, 14trlcl 34917 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
2623, 3, 25syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
27 cdlemg12e.z . . . . . . . . . 10 0 = (0.‘𝐾)
2824, 9, 27olj01 33978 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅𝐹) 0 ) = (𝑅𝐹))
2922, 26, 28syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → ((𝑅𝐹) 0 ) = (𝑅𝐹))
3018, 29eqtrd 2660 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → ((𝑅𝐹) (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄))) = (𝑅𝐹))
3116, 30breqtrd 4644 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → (𝑅𝐺) (𝑅𝐹))
32 hlatl 34113 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
3320, 32syl 17 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → 𝐾 ∈ AtLat)
34 hlop 34115 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
3520, 34syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → 𝐾 ∈ OP)
3624, 12, 13, 14trlcl 34917 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
3723, 4, 36syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
38 simp12l 1172 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑃𝐴)
3938adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → 𝑃𝐴)
40 simp13l 1174 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑄𝐴)
4140adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → 𝑄𝐴)
4224, 9, 11hlatjcl 34119 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
4320, 39, 41, 42syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
4424, 8, 27opnlen0 33941 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄)) → (𝑅𝐺) ≠ 0 )
4535, 37, 43, 7, 44syl31anc 1326 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → (𝑅𝐺) ≠ 0 )
46 simp11r 1171 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑊𝐻)
4746adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → 𝑊𝐻)
4827, 11, 12, 13, 14trlatn0 34925 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → ((𝑅𝐺) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅𝐺) ≠ 0 ))
4920, 47, 4, 48syl21anc 1322 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → ((𝑅𝐺) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅𝐺) ≠ 0 ))
5045, 49mpbird 247 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐴)
5124, 8, 27opnlen0 33941 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄)) → (𝑅𝐹) ≠ 0 )
5235, 26, 43, 6, 51syl31anc 1326 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → (𝑅𝐹) ≠ 0 )
5327, 11, 12, 13, 14trlatn0 34925 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅𝐹) ≠ 0 ))
5420, 47, 3, 53syl21anc 1322 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅𝐹) ≠ 0 ))
5552, 54mpbird 247 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
568, 11atcmp 34064 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑅𝐺) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴) → ((𝑅𝐺) (𝑅𝐹) ↔ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐹)))
5733, 50, 55, 56syl3anc 1323 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → ((𝑅𝐺) (𝑅𝐹) ↔ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐹)))
5831, 57mpbid 222 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → (𝑅𝐺) = (𝑅𝐹))
5958eqcomd 2632 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))
6059ex 450 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)))
6160necon3d 2817 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) → (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) ≠ 0 ))
621, 61mpd 15 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) ≠ 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605  Basecbs 15776  lecple 15864  joincjn 16860  meetcmee 16861  0.cp0 16953  OPcops 33925  OLcol 33927  Atomscatm 34016  AtLatcal 34017  HLchlt 34103  LHypclh 34736  LTrncltrn 34853  trLctrl 34911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-riotaBAD 33705
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-undef 7345  df-map 7805  df-preset 16844  df-poset 16862  df-plt 16874  df-lub 16890  df-glb 16891  df-join 16892  df-meet 16893  df-p0 16955  df-p1 16956  df-lat 16962  df-clat 17024  df-oposet 33929  df-ol 33931  df-oml 33932  df-covers 34019  df-ats 34020  df-atl 34051  df-cvlat 34075  df-hlat 34104  df-llines 34250  df-lplanes 34251  df-lvols 34252  df-lines 34253  df-psubsp 34255  df-pmap 34256  df-padd 34548  df-lhyp 34740  df-laut 34741  df-ldil 34856  df-ltrn 34857  df-trl 34912
This theorem is referenced by:  cdlemg12g  35403
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