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Theorem cdlemg12e 36252
Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 6-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l = (le‘𝐾)
cdlemg12.j = (join‘𝐾)
cdlemg12.m = (meet‘𝐾)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg12e.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdlemg12e ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) ≠ 0 )

Proof of Theorem cdlemg12e
StepHypRef Expression
1 simp33 1119 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))
2 simpl1 1084 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)))
3 simpl21 1159 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → 𝐹𝑇)
4 simpl22 1160 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → 𝐺𝑇)
5 simpl23 1161 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → 𝑃𝑄)
6 simpl31 1162 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄))
7 simpl32 1163 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))
8 cdlemg12.l . . . . . . . . 9 = (le‘𝐾)
9 cdlemg12.j . . . . . . . . 9 = (join‘𝐾)
10 cdlemg12.m . . . . . . . . 9 = (meet‘𝐾)
11 cdlemg12.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
12 cdlemg12.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
13 cdlemg12.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14 cdlemg12b.r . . . . . . . . 9 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
158, 9, 10, 11, 12, 13, 14cdlemg12d 36251 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))) → (𝑅𝐺) ((𝑅𝐹) (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄))))
162, 3, 4, 5, 6, 7, 15syl123anc 1383 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → (𝑅𝐺) ((𝑅𝐹) (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄))))
17 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 )
1817oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → ((𝑅𝐹) (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄))) = ((𝑅𝐹) 0 ))
19 simp11l 1192 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐾 ∈ HL)
2019adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → 𝐾 ∈ HL)
21 hlol 34966 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → 𝐾 ∈ OL)
23 simpl11 1156 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
24 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2524, 12, 13, 14trlcl 35769 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
2623, 3, 25syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
27 cdlemg12e.z . . . . . . . . . 10 0 = (0.‘𝐾)
2824, 9, 27olj01 34830 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅𝐹) 0 ) = (𝑅𝐹))
2922, 26, 28syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → ((𝑅𝐹) 0 ) = (𝑅𝐹))
3018, 29eqtrd 2685 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → ((𝑅𝐹) (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄))) = (𝑅𝐹))
3116, 30breqtrd 4711 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → (𝑅𝐺) (𝑅𝐹))
32 hlatl 34965 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
3320, 32syl 17 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → 𝐾 ∈ AtLat)
34 hlop 34967 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
3520, 34syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → 𝐾 ∈ OP)
3624, 12, 13, 14trlcl 35769 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
3723, 4, 36syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
38 simp12l 1194 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑃𝐴)
3938adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → 𝑃𝐴)
40 simp13l 1196 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑄𝐴)
4140adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → 𝑄𝐴)
4224, 9, 11hlatjcl 34971 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
4320, 39, 41, 42syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
4424, 8, 27opnlen0 34793 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄)) → (𝑅𝐺) ≠ 0 )
4535, 37, 43, 7, 44syl31anc 1369 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → (𝑅𝐺) ≠ 0 )
46 simp11r 1193 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑊𝐻)
4746adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → 𝑊𝐻)
4827, 11, 12, 13, 14trlatn0 35777 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → ((𝑅𝐺) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅𝐺) ≠ 0 ))
4920, 47, 4, 48syl21anc 1365 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → ((𝑅𝐺) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅𝐺) ≠ 0 ))
5045, 49mpbird 247 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐴)
5124, 8, 27opnlen0 34793 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄)) → (𝑅𝐹) ≠ 0 )
5235, 26, 43, 6, 51syl31anc 1369 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → (𝑅𝐹) ≠ 0 )
5327, 11, 12, 13, 14trlatn0 35777 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅𝐹) ≠ 0 ))
5420, 47, 3, 53syl21anc 1365 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅𝐹) ≠ 0 ))
5552, 54mpbird 247 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
568, 11atcmp 34916 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑅𝐺) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴) → ((𝑅𝐺) (𝑅𝐹) ↔ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐹)))
5733, 50, 55, 56syl3anc 1366 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → ((𝑅𝐺) (𝑅𝐹) ↔ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐹)))
5831, 57mpbid 222 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → (𝑅𝐺) = (𝑅𝐹))
5958eqcomd 2657 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))
6059ex 449 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)))
6160necon3d 2844 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) → (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) ≠ 0 ))
621, 61mpd 15 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) ≠ 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  lecple 15995  joincjn 16991  meetcmee 16992  0.cp0 17084  OPcops 34777  OLcol 34779  Atomscatm 34868  AtLatcal 34869  HLchlt 34955  LHypclh 35588  LTrncltrn 35705  trLctrl 35763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-riotaBAD 34557
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-undef 7444  df-map 7901  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-llines 35102  df-lplanes 35103  df-lvols 35104  df-lines 35105  df-psubsp 35107  df-pmap 35108  df-padd 35400  df-lhyp 35592  df-laut 35593  df-ldil 35708  df-ltrn 35709  df-trl 35764
This theorem is referenced by:  cdlemg12g  36254
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