Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg17dN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg17dN 35428
 Description: TODO: fix comment. (Contributed by NM, 9-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l = (le‘𝐾)
cdlemg12.j = (join‘𝐾)
cdlemg12.m = (meet‘𝐾)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg17dN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐺) = ((𝑃 𝑄) 𝑊))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐺,𝑟   ,𝑟   ,𝑟   𝑃,𝑟   𝑄,𝑟   𝑊,𝑟
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑟)   𝑇(𝑟)   𝐻(𝑟)   𝐾(𝑟)   (𝑟)

Proof of Theorem cdlemg17dN
StepHypRef Expression
1 simp1 1059 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇))
2 simp21 1092 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
3 simpl1 1062 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
4 simpl2 1063 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊𝐻)
5 simpl3 1064 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐺𝑇)
6 simpr 477 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
7 cdlemg12.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
8 cdlemg12.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
9 cdlemg12.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
10 cdlemg12.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11 cdlemg12.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
12 cdlemg12.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
13 cdlemg12b.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
147, 8, 9, 10, 11, 12, 13trlval2 34927 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅𝐺) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊))
153, 4, 5, 6, 14syl211anc 1329 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅𝐺) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊))
161, 2, 15syl2anc 692 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐺) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊))
17 simp11 1089 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝐾 ∈ HL)
18 simp12 1090 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑊𝐻)
1917, 18jca 554 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
20 simp22 1093 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
21 simp13 1091 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝐺𝑇)
22 simp23 1094 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑃𝑄)
23 simp33 1097 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)
24 simp31 1095 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))
25 simp32 1096 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))
267, 8, 9, 10, 11, 12, 13cdlemg17b 35427 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝐺𝑃) = 𝑄)
2719, 2, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26syl323anc 1353 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝐺𝑃) = 𝑄)
2827oveq2d 6620 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑃 (𝐺𝑃)) = (𝑃 𝑄))
2928oveq1d 6619 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) = ((𝑃 𝑄) 𝑊))
3016, 29eqtrd 2655 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐺) = ((𝑃 𝑄) 𝑊))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∃wrex 2908   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  lecple 15869  joincjn 16865  meetcmee 16866  Atomscatm 34027  HLchlt 34114  LHypclh 34747  LTrncltrn 34864  trLctrl 34922 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-map 7804  df-preset 16849  df-poset 16867  df-plt 16879  df-lub 16895  df-glb 16896  df-join 16897  df-meet 16898  df-p0 16960  df-p1 16961  df-lat 16967  df-clat 17029  df-oposet 33940  df-ol 33942  df-oml 33943  df-covers 34030  df-ats 34031  df-atl 34062  df-cvlat 34086  df-hlat 34115  df-psubsp 34266  df-pmap 34267  df-padd 34559  df-lhyp 34751  df-laut 34752  df-ldil 34867  df-ltrn 34868  df-trl 34923 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator