Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg17dN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg17dN 37679
Description: TODO: fix comment. (Contributed by NM, 9-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l = (le‘𝐾)
cdlemg12.j = (join‘𝐾)
cdlemg12.m = (meet‘𝐾)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg17dN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐺) = ((𝑃 𝑄) 𝑊))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐺,𝑟   ,𝑟   ,𝑟   𝑃,𝑟   𝑄,𝑟   𝑊,𝑟
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑟)   𝑇(𝑟)   𝐻(𝑟)   𝐾(𝑟)   (𝑟)

Proof of Theorem cdlemg17dN
StepHypRef Expression
1 simp1 1128 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇))
2 simp21 1198 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
3 simpl1 1183 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
4 simpl2 1184 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊𝐻)
5 simpl3 1185 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐺𝑇)
6 simpr 485 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
7 cdlemg12.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
8 cdlemg12.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
9 cdlemg12.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
10 cdlemg12.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11 cdlemg12.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
12 cdlemg12.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
13 cdlemg12b.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
147, 8, 9, 10, 11, 12, 13trlval2 37179 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅𝐺) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊))
153, 4, 5, 6, 14syl211anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅𝐺) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊))
161, 2, 15syl2anc 584 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐺) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊))
17 simp11 1195 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝐾 ∈ HL)
18 simp12 1196 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑊𝐻)
1917, 18jca 512 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
20 simp22 1199 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
21 simp13 1197 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝐺𝑇)
22 simp23 1200 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑃𝑄)
23 simp33 1203 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)
24 simp31 1201 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))
25 simp32 1202 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))
267, 8, 9, 10, 11, 12, 13cdlemg17b 37678 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝐺𝑃) = 𝑄)
2719, 2, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26syl323anc 1392 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝐺𝑃) = 𝑄)
2827oveq2d 7161 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑃 (𝐺𝑃)) = (𝑃 𝑄))
2928oveq1d 7160 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) = ((𝑃 𝑄) 𝑊))
3016, 29eqtrd 2853 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐺) = ((𝑃 𝑄) 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  lecple 16560  joincjn 17542  meetcmee 17543  Atomscatm 36279  HLchlt 36366  LHypclh 37000  LTrncltrn 37117  trLctrl 37174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-map 8397  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-clat 17706  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-psubsp 36519  df-pmap 36520  df-padd 36812  df-lhyp 37004  df-laut 37005  df-ldil 37120  df-ltrn 37121  df-trl 37175
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator