Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg18 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg18 36468
 Description: Show two lines intersect at an atom. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 15-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l = (le‘𝐾)
cdlemg12.j = (join‘𝐾)
cdlemg12.m = (meet‘𝐾)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) (𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄)))) 𝑊)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐺,𝑟   ,𝑟   ,𝑟   𝑃,𝑟   𝑄,𝑟   𝑊,𝑟   𝐹,𝑟
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑟)   𝑇(𝑟)   𝐻(𝑟)   𝐾(𝑟)   (𝑟)

Proof of Theorem cdlemg18
StepHypRef Expression
1 simp11 1246 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp21r 1376 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝐺𝑇)
3 simp12 1247 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
4 cdlemg12.l . . 3 = (le‘𝐾)
5 cdlemg12.j . . 3 = (join‘𝐾)
6 cdlemg12.m . . 3 = (meet‘𝐾)
7 cdlemg12.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8 cdlemg12.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9 cdlemg12.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10 cdlemg12b.r . . 3 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10cdlemg18d 36467 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) (𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄)))) ∈ 𝐴)
12 simp23 1251 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)
13 simp1 1131 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)))
14 simp21l 1375 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝐹𝑇)
15 simp22 1250 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑃𝑄)
16 simp31 1252 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))
17 simp33 1254 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))
184, 5, 6, 7, 8, 9, 10cdlemg17 36463 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝐺‘((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) (𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))))) = ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) (𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄)))))
1913, 14, 2, 15, 12, 16, 17, 18syl133anc 1500 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝐺‘((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) (𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))))) = ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) (𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄)))))
204, 7, 8, 9ltrnatlw 35969 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) (𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄)))) ∈ 𝐴) ∧ ((𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺‘((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) (𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))))) = ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) (𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄)))))) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) (𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄)))) 𝑊)
211, 2, 3, 11, 12, 19, 20syl132anc 1495 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) (𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄)))) 𝑊)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1628   ∈ wcel 2135   ≠ wne 2928  ∃wrex 3047   class class class wbr 4800  ‘cfv 6045  (class class class)co 6809  lecple 16146  joincjn 17141  meetcmee 17142  Atomscatm 35049  HLchlt 35136  LHypclh 35769  LTrncltrn 35886  trLctrl 35944 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-riotaBAD 34738 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4585  df-iun 4670  df-iin 4671  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-id 5170  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-undef 7564  df-map 8021  df-preset 17125  df-poset 17143  df-plt 17155  df-lub 17171  df-glb 17172  df-join 17173  df-meet 17174  df-p0 17236  df-p1 17237  df-lat 17243  df-clat 17305  df-oposet 34962  df-ol 34964  df-oml 34965  df-covers 35052  df-ats 35053  df-atl 35084  df-cvlat 35108  df-hlat 35137  df-llines 35283  df-lplanes 35284  df-lvols 35285  df-lines 35286  df-psubsp 35288  df-pmap 35289  df-padd 35581  df-lhyp 35773  df-laut 35774  df-ldil 35889  df-ltrn 35890  df-trl 35945 This theorem is referenced by:  cdlemg19a  36469
 Copyright terms: Public domain W3C validator