Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg18a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg18a 35446
Description: Show two lines are different. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 14-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l = (le‘𝐾)
cdlemg12.j = (join‘𝐾)
cdlemg12.m = (meet‘𝐾)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg18a (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) → (𝑃 (𝐹𝑄)) ≠ (𝑄 (𝐹𝑃)))

Proof of Theorem cdlemg18a
StepHypRef Expression
1 simp3r 1088 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))
2 simpl1l 1110 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → 𝐾 ∈ HL)
3 simpl21 1137 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → 𝑃𝐴)
4 simpl1 1062 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
5 simpl23 1139 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → 𝐹𝑇)
6 simpl22 1138 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → 𝑄𝐴)
7 cdlemg12.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
8 cdlemg12.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9 cdlemg12.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10 cdlemg12.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
117, 8, 9, 10ltrnat 34906 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑄𝐴) → (𝐹𝑄) ∈ 𝐴)
124, 5, 6, 11syl3anc 1323 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → (𝐹𝑄) ∈ 𝐴)
137, 8, 9, 10ltrnat 34906 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐴) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
144, 5, 3, 13syl3anc 1323 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
15 simpl3l 1114 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → 𝑃𝑄)
168, 9, 10ltrn11at 34913 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄)) → (𝐹𝑃) ≠ (𝐹𝑄))
174, 5, 3, 6, 15, 16syl113anc 1335 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → (𝐹𝑃) ≠ (𝐹𝑄))
1817necomd 2845 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → (𝐹𝑄) ≠ (𝐹𝑃))
19 simpr 477 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃)))
20 cdlemg12.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
2120, 8hlatexch4 34247 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝐹𝑄) ∈ 𝐴) ∧ (𝑄𝐴 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝐹𝑄) ≠ (𝐹𝑃) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃)))) → (𝑃 𝑄) = ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)))
222, 3, 12, 6, 14, 15, 18, 19, 21syl323anc 1353 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → (𝑃 𝑄) = ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)))
2322eqcomd 2627 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) = (𝑃 𝑄))
2423ex 450 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃)) → ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) = (𝑃 𝑄)))
2524necon3d 2811 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) → (((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄) → (𝑃 (𝐹𝑄)) ≠ (𝑄 (𝐹𝑃))))
261, 25mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) → (𝑃 (𝐹𝑄)) ≠ (𝑄 (𝐹𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cfv 5847  (class class class)co 6604  lecple 15869  joincjn 16865  meetcmee 16866  Atomscatm 34030  HLchlt 34117  LHypclh 34750  LTrncltrn 34867  trLctrl 34925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-map 7804  df-preset 16849  df-poset 16867  df-plt 16879  df-lub 16895  df-glb 16896  df-join 16897  df-meet 16898  df-p0 16960  df-lat 16967  df-oposet 33943  df-ol 33945  df-oml 33946  df-covers 34033  df-ats 34034  df-atl 34065  df-cvlat 34089  df-hlat 34118  df-lhyp 34754  df-laut 34755  df-ldil 34870  df-ltrn 34871
This theorem is referenced by:  cdlemg18c  35448
  Copyright terms: Public domain W3C validator