Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg18a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg18a 37694
Description: Show two lines are different. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 14-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l = (le‘𝐾)
cdlemg12.j = (join‘𝐾)
cdlemg12.m = (meet‘𝐾)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg18a (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) → (𝑃 (𝐹𝑄)) ≠ (𝑄 (𝐹𝑃)))

Proof of Theorem cdlemg18a
StepHypRef Expression
1 simp3r 1194 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))
2 simpl1l 1216 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → 𝐾 ∈ HL)
3 simpl21 1243 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → 𝑃𝐴)
4 simpl1 1183 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
5 simpl23 1245 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → 𝐹𝑇)
6 simpl22 1244 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → 𝑄𝐴)
7 cdlemg12.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
8 cdlemg12.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9 cdlemg12.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10 cdlemg12.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
117, 8, 9, 10ltrnat 37156 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑄𝐴) → (𝐹𝑄) ∈ 𝐴)
124, 5, 6, 11syl3anc 1363 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → (𝐹𝑄) ∈ 𝐴)
137, 8, 9, 10ltrnat 37156 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐴) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
144, 5, 3, 13syl3anc 1363 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
15 simpl3l 1220 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → 𝑃𝑄)
168, 9, 10ltrn11at 37163 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄)) → (𝐹𝑃) ≠ (𝐹𝑄))
174, 5, 3, 6, 15, 16syl113anc 1374 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → (𝐹𝑃) ≠ (𝐹𝑄))
1817necomd 3068 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → (𝐹𝑄) ≠ (𝐹𝑃))
19 simpr 485 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃)))
20 cdlemg12.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
2120, 8hlatexch4 36497 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝐹𝑄) ∈ 𝐴) ∧ (𝑄𝐴 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝐹𝑄) ≠ (𝐹𝑃) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃)))) → (𝑃 𝑄) = ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)))
222, 3, 12, 6, 14, 15, 18, 19, 21syl323anc 1392 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → (𝑃 𝑄) = ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)))
2322eqcomd 2824 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) = (𝑃 𝑄))
2423ex 413 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃)) → ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) = (𝑃 𝑄)))
2524necon3d 3034 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) → (((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄) → (𝑃 (𝐹𝑄)) ≠ (𝑄 (𝐹𝑃))))
261, 25mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) → (𝑃 (𝐹𝑄)) ≠ (𝑄 (𝐹𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  cfv 6348  (class class class)co 7145  lecple 16560  joincjn 17542  meetcmee 17543  Atomscatm 36279  HLchlt 36366  LHypclh 37000  LTrncltrn 37117  trLctrl 37174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-map 8397  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-lat 17644  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-lhyp 37004  df-laut 37005  df-ldil 37120  df-ltrn 37121
This theorem is referenced by:  cdlemg18c  37696
  Copyright terms: Public domain W3C validator