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Theorem cdlemg27b 35450
Description: TODO: Fix comment. (Contributed by NM, 28-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l = (le‘𝐾)
cdlemg12.j = (join‘𝐾)
cdlemg12.m = (meet‘𝐾)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg31.n 𝑁 = ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹)))
Assertion
Ref Expression
cdlemg27b ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → ¬ (𝑅𝐹) (𝑄 𝑧))

Proof of Theorem cdlemg27b
StepHypRef Expression
1 simp11 1089 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp12 1090 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
3 simp13 1091 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
4 simp22 1093 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑣𝐴𝑣 𝑊))
5 simp23l 1180 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝐹𝑇)
6 simp31 1095 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑣 ≠ (𝑅𝐹))
7 cdlemg12.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
8 cdlemg12.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
9 cdlemg12.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
10 cdlemg12.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11 cdlemg12.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
12 cdlemg12.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
13 cdlemg12b.r . . . . . 6 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
14 cdlemg31.n . . . . . 6 𝑁 = ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹)))
157, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14cdlemg31b0a 35449 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑁𝐴𝑁 = (0.‘𝐾)))
161, 2, 3, 4, 5, 6, 15syl132anc 1341 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑁𝐴𝑁 = (0.‘𝐾)))
17 simp23r 1181 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑧𝑁)
1817adantr 481 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) ∧ (𝑁𝐴𝑁 = (0.‘𝐾))) → 𝑧𝑁)
19 simp11l 1170 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝐾 ∈ HL)
2019adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) ∧ 𝑁𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
21 hlatl 34113 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
2220, 21syl 17 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) ∧ 𝑁𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
23 simpl21 1137 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) ∧ 𝑁𝐴) → 𝑧𝐴)
24 simpr 477 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) ∧ 𝑁𝐴) → 𝑁𝐴)
257, 10atcmp 34064 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑧𝐴𝑁𝐴) → (𝑧 𝑁𝑧 = 𝑁))
2622, 23, 24, 25syl3anc 1323 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) ∧ 𝑁𝐴) → (𝑧 𝑁𝑧 = 𝑁))
2726necon3bbid 2833 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) ∧ 𝑁𝐴) → (¬ 𝑧 𝑁𝑧𝑁))
2819adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) ∧ 𝑁 = (0.‘𝐾)) → 𝐾 ∈ HL)
2928, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) ∧ 𝑁 = (0.‘𝐾)) → 𝐾 ∈ AtLat)
30 simpl21 1137 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) ∧ 𝑁 = (0.‘𝐾)) → 𝑧𝐴)
31 eqid 2626 . . . . . . . . . 10 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
327, 31, 10atnle0 34062 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑧𝐴) → ¬ 𝑧 (0.‘𝐾))
3329, 30, 32syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) ∧ 𝑁 = (0.‘𝐾)) → ¬ 𝑧 (0.‘𝐾))
34 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) ∧ 𝑁 = (0.‘𝐾)) → 𝑁 = (0.‘𝐾))
3534breq2d 4630 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) ∧ 𝑁 = (0.‘𝐾)) → (𝑧 𝑁𝑧 (0.‘𝐾)))
3633, 35mtbird 315 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) ∧ 𝑁 = (0.‘𝐾)) → ¬ 𝑧 𝑁)
3717adantr 481 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) ∧ 𝑁 = (0.‘𝐾)) → 𝑧𝑁)
3836, 372thd 255 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) ∧ 𝑁 = (0.‘𝐾)) → (¬ 𝑧 𝑁𝑧𝑁))
3927, 38jaodan 825 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) ∧ (𝑁𝐴𝑁 = (0.‘𝐾))) → (¬ 𝑧 𝑁𝑧𝑁))
4018, 39mpbird 247 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) ∧ (𝑁𝐴𝑁 = (0.‘𝐾))) → ¬ 𝑧 𝑁)
4116, 40mpdan 701 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → ¬ 𝑧 𝑁)
42 simp32 1096 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑧 (𝑃 𝑣))
43 hllat 34116 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
4419, 43syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝐾 ∈ Lat)
45 simp21 1092 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑧𝐴)
46 eqid 2626 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4746, 10atbase 34042 . . . . . . . 8 (𝑧𝐴𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
4845, 47syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
49 simp12l 1172 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑃𝐴)
50 simp22l 1178 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑣𝐴)
5146, 8, 10hlatjcl 34119 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑣𝐴) → (𝑃 𝑣) ∈ (Base‘𝐾))
5219, 49, 50, 51syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑃 𝑣) ∈ (Base‘𝐾))
53 simp13l 1174 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑄𝐴)
54 simp33 1097 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)
557, 10, 11, 12, 13trlat 34922 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
561, 2, 5, 54, 55syl112anc 1327 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
5746, 8, 10hlatjcl 34119 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴) → (𝑄 (𝑅𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
5819, 53, 56, 57syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑄 (𝑅𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
5946, 7, 9latlem12 16994 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑣) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 (𝑅𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ 𝑧 (𝑄 (𝑅𝐹))) ↔ 𝑧 ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹)))))
6044, 48, 52, 58, 59syl13anc 1325 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → ((𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ 𝑧 (𝑄 (𝑅𝐹))) ↔ 𝑧 ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹)))))
6114breq2i 4626 . . . . . 6 (𝑧 𝑁𝑧 ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹))))
6260, 61syl6bbr 278 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → ((𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ 𝑧 (𝑄 (𝑅𝐹))) ↔ 𝑧 𝑁))
6362biimpd 219 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → ((𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ 𝑧 (𝑄 (𝑅𝐹))) → 𝑧 𝑁))
6442, 63mpand 710 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑧 (𝑄 (𝑅𝐹)) → 𝑧 𝑁))
6541, 64mtod 189 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → ¬ 𝑧 (𝑄 (𝑅𝐹)))
667, 11, 12, 13trlle 34937 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) 𝑊)
671, 5, 66syl2anc 692 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐹) 𝑊)
68 simp13r 1175 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → ¬ 𝑄 𝑊)
69 nbrne2 4638 . . . 4 (((𝑅𝐹) 𝑊 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) → (𝑅𝐹) ≠ 𝑄)
7067, 68, 69syl2anc 692 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐹) ≠ 𝑄)
717, 8, 10hlatexch1 34147 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴𝑧𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 𝑄) → ((𝑅𝐹) (𝑄 𝑧) → 𝑧 (𝑄 (𝑅𝐹))))
7219, 56, 45, 53, 70, 71syl131anc 1336 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → ((𝑅𝐹) (𝑄 𝑧) → 𝑧 (𝑄 (𝑅𝐹))))
7365, 72mtod 189 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝑧𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → ¬ (𝑅𝐹) (𝑄 𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605  Basecbs 15776  lecple 15864  joincjn 16860  meetcmee 16861  0.cp0 16953  Latclat 16961  Atomscatm 34016  AtLatcal 34017  HLchlt 34103  LHypclh 34736  LTrncltrn 34853  trLctrl 34911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-map 7805  df-preset 16844  df-poset 16862  df-plt 16874  df-lub 16890  df-glb 16891  df-join 16892  df-meet 16893  df-p0 16955  df-p1 16956  df-lat 16962  df-clat 17024  df-oposet 33929  df-ol 33931  df-oml 33932  df-covers 34019  df-ats 34020  df-atl 34051  df-cvlat 34075  df-hlat 34104  df-llines 34250  df-psubsp 34255  df-pmap 34256  df-padd 34548  df-lhyp 34740  df-laut 34741  df-ldil 34856  df-ltrn 34857  df-trl 34912
This theorem is referenced by:  cdlemg28b  35457
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