Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg41 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg41 35521
 Description: Convert cdlemg40 35520 to function composition. TODO: Fix comment. (Contributed by NM, 31-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg35.l = (le‘𝐾)
cdlemg35.j = (join‘𝐾)
cdlemg35.m = (meet‘𝐾)
cdlemg35.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg35.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg35.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg41 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑃 ((𝐹𝐺)‘𝑃)) 𝑊) = ((𝑄 ((𝐹𝐺)‘𝑄)) 𝑊))

Proof of Theorem cdlemg41
StepHypRef Expression
1 cdlemg35.l . . 3 = (le‘𝐾)
2 cdlemg35.j . . 3 = (join‘𝐾)
3 cdlemg35.m . . 3 = (meet‘𝐾)
4 cdlemg35.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 cdlemg35.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 cdlemg35.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
71, 2, 3, 4, 5, 6cdlemg40 35520 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) = ((𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))) 𝑊))
8 simp1 1059 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
9 simp3 1061 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝐹𝑇𝐺𝑇))
10 simp2ll 1126 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝑃𝐴)
111, 4, 5, 6ltrncoval 34946 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → ((𝐹𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘(𝐺𝑃)))
128, 9, 10, 11syl3anc 1323 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝐹𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘(𝐺𝑃)))
1312oveq2d 6626 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑃 ((𝐹𝐺)‘𝑃)) = (𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))))
1413oveq1d 6625 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑃 ((𝐹𝐺)‘𝑃)) 𝑊) = ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊))
15 simp2rl 1128 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝑄𝐴)
161, 4, 5, 6ltrncoval 34946 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑄𝐴) → ((𝐹𝐺)‘𝑄) = (𝐹‘(𝐺𝑄)))
178, 9, 15, 16syl3anc 1323 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝐹𝐺)‘𝑄) = (𝐹‘(𝐺𝑄)))
1817oveq2d 6626 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑄 ((𝐹𝐺)‘𝑄)) = (𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))))
1918oveq1d 6625 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑄 ((𝐹𝐺)‘𝑄)) 𝑊) = ((𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))) 𝑊))
207, 14, 193eqtr4d 2665 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑃 ((𝐹𝐺)‘𝑃)) 𝑊) = ((𝑄 ((𝐹𝐺)‘𝑄)) 𝑊))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   class class class wbr 4618   ∘ ccom 5083  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  lecple 15880  joincjn 16876  meetcmee 16877  Atomscatm 34065  HLchlt 34152  LHypclh 34785  LTrncltrn 34902 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-riotaBAD 33754 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-undef 7351  df-map 7811  df-preset 16860  df-poset 16878  df-plt 16890  df-lub 16906  df-glb 16907  df-join 16908  df-meet 16909  df-p0 16971  df-p1 16972  df-lat 16978  df-clat 17040  df-oposet 33978  df-ol 33980  df-oml 33981  df-covers 34068  df-ats 34069  df-atl 34100  df-cvlat 34124  df-hlat 34153  df-llines 34299  df-lplanes 34300  df-lvols 34301  df-lines 34302  df-psubsp 34304  df-pmap 34305  df-padd 34597  df-lhyp 34789  df-laut 34790  df-ldil 34905  df-ltrn 34906  df-trl 34961 This theorem is referenced by:  ltrnco  35522
 Copyright terms: Public domain W3C validator