Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg46 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg46 34835
Description: Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, seventh line of third paragraph on p. 117: "hf and f have different traces." (Contributed by NM, 5-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg46.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemg46.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg46.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg46.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg46 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅‘(𝐹)) ≠ (𝑅𝐹))
Distinct variable groups:   ,𝐹   ,𝐻   ,𝐾   𝑅,   𝑇,   ,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐵()

Proof of Theorem cdlemg46
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1105 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) ∧ (𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp1 1054 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3 simp2r 1081 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝑇)
4 simp32 1091 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → ≠ ( I ↾ 𝐵))
5 cdlemg46.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 eqid 2610 . . . . . 6 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
7 cdlemg46.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8 cdlemg46.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9 cdlemg46.r . . . . . 6 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
105, 6, 7, 8, 9trlnidat 34272 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅) ∈ (Atoms‘𝐾))
112, 3, 4, 10syl3anc 1318 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅) ∈ (Atoms‘𝐾))
1211adantr 480 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) ∧ (𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑅) ∈ (Atoms‘𝐾))
13 simp2l 1080 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐹𝑇)
14 simp31 1090 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
155, 6, 7, 8, 9trlnidat 34272 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾))
162, 13, 14, 15syl3anc 1318 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾))
1716adantr 480 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) ∧ (𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾))
18 simpl33 1137 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) ∧ (𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))
19 simpr 476 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) ∧ (𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾))
207, 8ltrnco 34819 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑇𝐹𝑇) → (𝐹) ∈ 𝑇)
212, 3, 13, 20syl3anc 1318 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝐹) ∈ 𝑇)
227, 8ltrncnv 34244 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
232, 13, 22syl2anc 691 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐹𝑇)
24 eqid 2610 . . . . . . . 8 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
25 eqid 2610 . . . . . . . 8 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
2624, 25, 7, 8, 9trlco 34827 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹) ∈ 𝑇𝐹𝑇) → (𝑅‘((𝐹) ∘ 𝐹))(le‘𝐾)((𝑅‘(𝐹))(join‘𝐾)(𝑅𝐹)))
272, 21, 23, 26syl3anc 1318 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅‘((𝐹) ∘ 𝐹))(le‘𝐾)((𝑅‘(𝐹))(join‘𝐾)(𝑅𝐹)))
28 coass 5557 . . . . . . . 8 ((𝐹) ∘ 𝐹) = ( ∘ (𝐹𝐹))
295, 7, 8ltrn1o 34222 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
302, 13, 29syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
31 f1ococnv2 6061 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
3332coeq2d 5194 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → ( ∘ (𝐹𝐹)) = ( ∘ ( I ↾ 𝐵)))
345, 7, 8ltrn1o 34222 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑇) → :𝐵1-1-onto𝐵)
352, 3, 34syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → :𝐵1-1-onto𝐵)
36 f1of 6035 . . . . . . . . . 10 (:𝐵1-1-onto𝐵:𝐵𝐵)
37 fcoi1 5976 . . . . . . . . . 10 (:𝐵𝐵 → ( ∘ ( I ↾ 𝐵)) = )
3835, 36, 373syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → ( ∘ ( I ↾ 𝐵)) = )
3933, 38eqtrd 2644 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → ( ∘ (𝐹𝐹)) = )
4028, 39syl5eq 2656 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝐹) ∘ 𝐹) = )
4140fveq2d 6092 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅‘((𝐹) ∘ 𝐹)) = (𝑅))
427, 8, 9trlcnv 34264 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
432, 13, 42syl2anc 691 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
4443oveq2d 6543 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑅‘(𝐹))(join‘𝐾)(𝑅𝐹)) = ((𝑅‘(𝐹))(join‘𝐾)(𝑅𝐹)))
4527, 41, 443brtr3d 4609 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅)(le‘𝐾)((𝑅‘(𝐹))(join‘𝐾)(𝑅𝐹)))
4645adantr 480 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) ∧ (𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑅)(le‘𝐾)((𝑅‘(𝐹))(join‘𝐾)(𝑅𝐹)))
4724, 25, 6hlatlej2 33474 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑅𝐹)(le‘𝐾)((𝑅‘(𝐹))(join‘𝐾)(𝑅𝐹)))
481, 19, 17, 47syl3anc 1318 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) ∧ (𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑅𝐹)(le‘𝐾)((𝑅‘(𝐹))(join‘𝐾)(𝑅𝐹)))
49 hllat 33462 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
501, 49syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) ∧ (𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ Lat)
515, 6atbase 33388 . . . . . 6 ((𝑅) ∈ (Atoms‘𝐾) → (𝑅) ∈ 𝐵)
5212, 51syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) ∧ (𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑅) ∈ 𝐵)
535, 6atbase 33388 . . . . . 6 ((𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐵)
5417, 53syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) ∧ (𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐵)
555, 25, 6hlatjcl 33465 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅‘(𝐹))(join‘𝐾)(𝑅𝐹)) ∈ 𝐵)
561, 19, 17, 55syl3anc 1318 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) ∧ (𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅‘(𝐹))(join‘𝐾)(𝑅𝐹)) ∈ 𝐵)
575, 24, 25latjle12 16834 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝐹) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑅‘(𝐹))(join‘𝐾)(𝑅𝐹)) ∈ 𝐵)) → (((𝑅)(le‘𝐾)((𝑅‘(𝐹))(join‘𝐾)(𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹)(le‘𝐾)((𝑅‘(𝐹))(join‘𝐾)(𝑅𝐹))) ↔ ((𝑅)(join‘𝐾)(𝑅𝐹))(le‘𝐾)((𝑅‘(𝐹))(join‘𝐾)(𝑅𝐹))))
5850, 52, 54, 56, 57syl13anc 1320 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) ∧ (𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (((𝑅)(le‘𝐾)((𝑅‘(𝐹))(join‘𝐾)(𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹)(le‘𝐾)((𝑅‘(𝐹))(join‘𝐾)(𝑅𝐹))) ↔ ((𝑅)(join‘𝐾)(𝑅𝐹))(le‘𝐾)((𝑅‘(𝐹))(join‘𝐾)(𝑅𝐹))))
5946, 48, 58mpbi2and 958 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) ∧ (𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅)(join‘𝐾)(𝑅𝐹))(le‘𝐾)((𝑅‘(𝐹))(join‘𝐾)(𝑅𝐹)))
6024, 25, 62atjlej 33577 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑅) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ((𝑅)(join‘𝐾)(𝑅𝐹))(le‘𝐾)((𝑅‘(𝐹))(join‘𝐾)(𝑅𝐹)))) → (𝑅‘(𝐹)) ≠ (𝑅𝐹))
611, 12, 17, 18, 19, 17, 59, 60syl133anc 1341 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) ∧ (𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑅‘(𝐹)) ≠ (𝑅𝐹))
62 nelne2 2879 . . . 4 (((𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ (𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹)))
6362necomd 2837 . . 3 (((𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ (𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑅‘(𝐹)) ≠ (𝑅𝐹))
6416, 63sylan 487 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) ∧ ¬ (𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑅‘(𝐹)) ≠ (𝑅𝐹))
6561, 64pm2.61dan 828 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅‘(𝐹)) ≠ (𝑅𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780   class class class wbr 4578   I cid 4938  ccnv 5027  cres 5030  ccom 5032  wf 5786  1-1-ontowf1o 5789  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15644  lecple 15724  joincjn 16716  Latclat 16817  Atomscatm 33362  HLchlt 33449  LHypclh 34082  LTrncltrn 34199  trLctrl 34257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-riotaBAD 33051
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4368  df-iun 4452  df-iin 4453  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-undef 7264  df-map 7724  df-preset 16700  df-poset 16718  df-plt 16730  df-lub 16746  df-glb 16747  df-join 16748  df-meet 16749  df-p0 16811  df-p1 16812  df-lat 16818  df-clat 16880  df-oposet 33275  df-ol 33277  df-oml 33278  df-covers 33365  df-ats 33366  df-atl 33397  df-cvlat 33421  df-hlat 33450  df-llines 33596  df-lplanes 33597  df-lvols 33598  df-lines 33599  df-psubsp 33601  df-pmap 33602  df-padd 33894  df-lhyp 34086  df-laut 34087  df-ldil 34202  df-ltrn 34203  df-trl 34258
This theorem is referenced by:  cdlemg47  34836
  Copyright terms: Public domain W3C validator