Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg47 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg47 34841
Description: Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, ninth line of third paragraph on p. 117: "we conclude that gf = fg." (Contributed by NM, 5-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg46.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemg46.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg46.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg46.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg47 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹))
Distinct variable groups:   ,𝐹   ,𝐻   ,𝐾   𝑅,   𝑇,   ,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐵()   𝐺()

Proof of Theorem cdlemg47
StepHypRef Expression
1 simp11 1083 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp2l 1079 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝑇)
3 simp12 1084 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐹𝑇)
4 cdlemg46.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 cdlemg46.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
64, 5ltrnco 34824 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑇𝐹𝑇) → (𝐹) ∈ 𝑇)
71, 2, 3, 6syl3anc 1317 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝐹) ∈ 𝑇)
8 simp13 1085 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐺𝑇)
9 simp3 1055 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹)))
10 cdlemg46.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝐾)
11 cdlemg46.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
1210, 4, 5, 11cdlemg46 34840 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅‘(𝐹)) ≠ (𝑅𝐹))
131, 3, 2, 9, 12syl121anc 1322 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅‘(𝐹)) ≠ (𝑅𝐹))
14 simp2r 1080 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))
1513, 14neeqtrd 2846 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅‘(𝐹)) ≠ (𝑅𝐺))
164, 5, 11cdlemg44 34838 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹) ∈ 𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅‘(𝐹)) ≠ (𝑅𝐺)) → ((𝐹) ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ (𝐹)))
171, 7, 8, 15, 16syl121anc 1322 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝐹) ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ (𝐹)))
18 coass 5553 . . . . . 6 ((𝐺) ∘ 𝐹) = (𝐺 ∘ (𝐹))
1917, 18syl6eqr 2657 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝐹) ∘ 𝐺) = ((𝐺) ∘ 𝐹))
20 simp33 1091 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))
2120, 14neeqtrd 2846 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅) ≠ (𝑅𝐺))
224, 5, 11cdlemg44 34838 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝐺) = (𝐺))
231, 2, 8, 21, 22syl121anc 1322 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝐺) = (𝐺))
2423coeq1d 5189 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝐺) ∘ 𝐹) = ((𝐺) ∘ 𝐹))
2519, 24eqtr4d 2642 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝐹) ∘ 𝐺) = ((𝐺) ∘ 𝐹))
26 coass 5553 . . . 4 ((𝐹) ∘ 𝐺) = ( ∘ (𝐹𝐺))
27 coass 5553 . . . 4 ((𝐺) ∘ 𝐹) = ( ∘ (𝐺𝐹))
2825, 26, 273eqtr3g 2662 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → ( ∘ (𝐹𝐺)) = ( ∘ (𝐺𝐹)))
2928coeq2d 5190 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → ( ∘ ( ∘ (𝐹𝐺))) = ( ∘ ( ∘ (𝐺𝐹))))
30 coass 5553 . . . 4 (() ∘ (𝐹𝐺)) = ( ∘ ( ∘ (𝐹𝐺)))
3110, 4, 5ltrn1o 34227 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑇) → :𝐵1-1-onto𝐵)
321, 2, 31syl2anc 690 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → :𝐵1-1-onto𝐵)
33 f1ococnv1 6059 . . . . . 6 (:𝐵1-1-onto𝐵 → () = ( I ↾ 𝐵))
3432, 33syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → () = ( I ↾ 𝐵))
3534coeq1d 5189 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (() ∘ (𝐹𝐺)) = (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝐹𝐺)))
3630, 35syl5eqr 2653 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → ( ∘ ( ∘ (𝐹𝐺))) = (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝐹𝐺)))
374, 5ltrnco 34824 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
381, 3, 8, 37syl3anc 1317 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
3910, 4, 5ltrn1o 34227 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝐺) ∈ 𝑇) → (𝐹𝐺):𝐵1-1-onto𝐵)
401, 38, 39syl2anc 690 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝐹𝐺):𝐵1-1-onto𝐵)
41 f1of 6031 . . . 4 ((𝐹𝐺):𝐵1-1-onto𝐵 → (𝐹𝐺):𝐵𝐵)
42 fcoi2 5973 . . . 4 ((𝐹𝐺):𝐵𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝐹𝐺)) = (𝐹𝐺))
4340, 41, 423syl 18 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝐹𝐺)) = (𝐹𝐺))
4436, 43eqtrd 2639 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → ( ∘ ( ∘ (𝐹𝐺))) = (𝐹𝐺))
45 coass 5553 . . . 4 (() ∘ (𝐺𝐹)) = ( ∘ ( ∘ (𝐺𝐹)))
4634coeq1d 5189 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (() ∘ (𝐺𝐹)) = (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝐺𝐹)))
4745, 46syl5eqr 2653 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → ( ∘ ( ∘ (𝐺𝐹))) = (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝐺𝐹)))
484, 5ltrnco 34824 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐹𝑇) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
491, 8, 3, 48syl3anc 1317 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
5010, 4, 5ltrn1o 34227 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝐹) ∈ 𝑇) → (𝐺𝐹):𝐵1-1-onto𝐵)
511, 49, 50syl2anc 690 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝐺𝐹):𝐵1-1-onto𝐵)
52 f1of 6031 . . . 4 ((𝐺𝐹):𝐵1-1-onto𝐵 → (𝐺𝐹):𝐵𝐵)
53 fcoi2 5973 . . . 4 ((𝐺𝐹):𝐵𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝐺𝐹)) = (𝐺𝐹))
5451, 52, 533syl 18 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝐺𝐹)) = (𝐺𝐹))
5547, 54eqtrd 2639 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → ( ∘ ( ∘ (𝐺𝐹))) = (𝐺𝐹))
5629, 44, 553eqtr3d 2647 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2775   I cid 4934  ccnv 5023  cres 5026  ccom 5028  wf 5782  1-1-ontowf1o 5785  cfv 5786  Basecbs 15637  HLchlt 33454  LHypclh 34087  LTrncltrn 34204  trLctrl 34262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-riotaBAD 33056
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-iin 4448  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-id 4939  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-undef 7259  df-map 7719  df-preset 16693  df-poset 16711  df-plt 16723  df-lub 16739  df-glb 16740  df-join 16741  df-meet 16742  df-p0 16804  df-p1 16805  df-lat 16811  df-clat 16873  df-oposet 33280  df-ol 33282  df-oml 33283  df-covers 33370  df-ats 33371  df-atl 33402  df-cvlat 33426  df-hlat 33455  df-llines 33601  df-lplanes 33602  df-lvols 33603  df-lines 33604  df-psubsp 33606  df-pmap 33607  df-padd 33899  df-lhyp 34091  df-laut 34092  df-ldil 34207  df-ltrn 34208  df-trl 34263
This theorem is referenced by:  cdlemg48  34842
  Copyright terms: Public domain W3C validator