Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg48 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg48 35544
Description: Elmininate from cdlemg47 35543. (Contributed by NM, 5-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg46.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemg46.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg46.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg46.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg48 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) → (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹))

Proof of Theorem cdlemg48
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdlemg46.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cdlemg46.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 cdlemg46.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4 cdlemg46.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
51, 2, 3, 4cdlemftr1 35374 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑇 ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹)))
653ad2ant1 1080 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) → ∃𝑇 ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹)))
7 simp11 1089 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) ∧ 𝑇 ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
8 simp12l 1172 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) ∧ 𝑇 ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐹𝑇)
9 simp12r 1173 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) ∧ 𝑇 ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐺𝑇)
10 simp2 1060 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) ∧ 𝑇 ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝑇)
11 simp13r 1175 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) ∧ 𝑇 ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))
12 simp13l 1174 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) ∧ 𝑇 ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
13 simp3l 1087 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) ∧ 𝑇 ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → ≠ ( I ↾ 𝐵))
14 simp3r 1088 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) ∧ 𝑇 ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))
151, 2, 3, 4cdlemg47 35543 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹))
167, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15syl323anc 1353 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) ∧ 𝑇 ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹))
1716rexlimdv3a 3028 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) → (∃𝑇 ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹)) → (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹)))
186, 17mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) → (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2909   I cid 4994  cres 5086  ccom 5088  cfv 5857  Basecbs 15800  HLchlt 34156  LHypclh 34789  LTrncltrn 34906  trLctrl 34964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-riotaBAD 33758
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-undef 7359  df-map 7819  df-preset 16868  df-poset 16886  df-plt 16898  df-lub 16914  df-glb 16915  df-join 16916  df-meet 16917  df-p0 16979  df-p1 16980  df-lat 16986  df-clat 17048  df-oposet 33982  df-ol 33984  df-oml 33985  df-covers 34072  df-ats 34073  df-atl 34104  df-cvlat 34128  df-hlat 34157  df-llines 34303  df-lplanes 34304  df-lvols 34305  df-lines 34306  df-psubsp 34308  df-pmap 34309  df-padd 34601  df-lhyp 34793  df-laut 34794  df-ldil 34909  df-ltrn 34910  df-trl 34965
This theorem is referenced by:  ltrncom  35545
  Copyright terms: Public domain W3C validator