Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemh1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemh1 36420
Description: Part of proof of Lemma H of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 17-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemh.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemh.l = (le‘𝐾)
cdlemh.j = (join‘𝐾)
cdlemh.m = (meet‘𝐾)
cdlemh.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemh.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemh.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemh.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemh.s 𝑆 = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))
Assertion
Ref Expression
cdlemh1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑆 (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))

Proof of Theorem cdlemh1
StepHypRef Expression
1 cdlemh.s . . 3 𝑆 = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))
21oveq1i 6700 . 2 (𝑆 (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) (𝑅‘(𝐺𝐹)))
3 simp11l 1192 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐾 ∈ HL)
4 simp11 1111 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
5 simp13 1113 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐺𝑇)
6 simp12 1112 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐹𝑇)
7 simp3r 1110 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))
87necomd 2878 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))
9 cdlemh.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10 cdlemh.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11 cdlemh.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
12 cdlemh.r . . . . . 6 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
139, 10, 11, 12trlcocnvat 36329 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹)) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴)
144, 5, 6, 8, 13syl121anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴)
15 hllat 34968 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
163, 15syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐾 ∈ Lat)
17 simp2l 1107 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑃𝐴)
18 cdlemh.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
1918, 9atbase 34894 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
2017, 19syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑃𝐵)
2118, 10, 11, 12trlcl 35769 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐵)
224, 5, 21syl2anc 694 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐵)
23 cdlemh.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
2418, 23latjcl 17098 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵 ∧ (𝑅𝐺) ∈ 𝐵) → (𝑃 (𝑅𝐺)) ∈ 𝐵)
2516, 20, 22, 24syl3anc 1366 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑃 (𝑅𝐺)) ∈ 𝐵)
26 simp2r 1108 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑄𝐴)
2718, 23, 9hlatjcl 34971 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴) → (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵)
283, 26, 14, 27syl3anc 1366 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵)
29 cdlemh.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
3029, 23, 9hlatlej2 34980 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))
313, 26, 14, 30syl3anc 1366 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))
32 cdlemh.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
3318, 29, 23, 32, 9atmod4i1 35470 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 (𝑅𝐺)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵) ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) → (((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
343, 14, 25, 28, 31, 33syl131anc 1379 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
3510, 11ltrncnv 35750 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
364, 6, 35syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐹𝑇)
3723, 10, 11, 12trljco2 36346 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐹𝑇) → ((𝑅𝐺) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
384, 5, 36, 37syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑅𝐺) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
3910, 11, 12trlcnv 35770 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
404, 6, 39syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
4140oveq1d 6705 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
4238, 41eqtrd 2685 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑅𝐺) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
4342oveq2d 6706 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑃 ((𝑅𝐺) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) = (𝑃 ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
4410, 11ltrnco 36324 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐹𝑇) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
454, 5, 36, 44syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
4618, 10, 11, 12trlcl 35769 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵)
474, 45, 46syl2anc 694 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵)
4818, 23latjass 17142 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃𝐵 ∧ (𝑅𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵)) → ((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (𝑃 ((𝑅𝐺) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
4916, 20, 22, 47, 48syl13anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (𝑃 ((𝑅𝐺) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
5018, 10, 11, 12trlcl 35769 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐵)
514, 6, 50syl2anc 694 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐵)
5218, 23latjass 17142 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃𝐵 ∧ (𝑅𝐹) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵)) → ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (𝑃 ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
5316, 20, 51, 47, 52syl13anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (𝑃 ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
5443, 49, 533eqtr4d 2695 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
5554oveq1d 6705 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) = (((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
56 simp3l 1109 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)))
5718, 9atbase 34894 . . . . . . 7 (𝑄𝐴𝑄𝐵)
5826, 57syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑄𝐵)
5918, 23latjcl 17098 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵 ∧ (𝑅𝐹) ∈ 𝐵) → (𝑃 (𝑅𝐹)) ∈ 𝐵)
6016, 20, 51, 59syl3anc 1366 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑃 (𝑅𝐹)) ∈ 𝐵)
6118, 29, 23latjlej1 17112 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄𝐵 ∧ (𝑃 (𝑅𝐹)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵)) → (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) → (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
6216, 58, 60, 47, 61syl13anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) → (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
6356, 62mpd 15 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
6418, 23latjcl 17098 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 (𝑅𝐹)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵) → ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵)
6516, 60, 47, 64syl3anc 1366 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵)
6618, 29, 32latleeqm2 17127 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵) → ((𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) ↔ (((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) = (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
6716, 28, 65, 66syl3anc 1366 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) ↔ (((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) = (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
6863, 67mpbid 222 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) = (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))
6934, 55, 683eqtrd 2689 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))
702, 69syl5eq 2697 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑆 (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  ccnv 5142  ccom 5147  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  lecple 15995  joincjn 16991  meetcmee 16992  Latclat 17092  Atomscatm 34868  HLchlt 34955  LHypclh 35588  LTrncltrn 35705  trLctrl 35763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-riotaBAD 34557
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-undef 7444  df-map 7901  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-llines 35102  df-lplanes 35103  df-lvols 35104  df-lines 35105  df-psubsp 35107  df-pmap 35108  df-padd 35400  df-lhyp 35592  df-laut 35593  df-ldil 35708  df-ltrn 35709  df-trl 35764
This theorem is referenced by:  cdlemh  36422
  Copyright terms: Public domain W3C validator