Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemi 34920
Description: Lemma I of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 19-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemi.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemi.l = (le‘𝐾)
cdlemi.j = (join‘𝐾)
cdlemi.m = (meet‘𝐾)
cdlemi.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemi.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemi.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemi.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemi.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
cdlemi.s 𝑆 = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
Assertion
Ref Expression
cdlemi ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) = 𝑆)

Proof of Theorem cdlemi
StepHypRef Expression
1 simp11l 1165 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp11r 1166 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑊𝐻)
3 simp2l 1080 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑈𝐸)
4 simp13 1086 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐺𝑇)
5 simp2r 1081 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
6 cdlemi.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
7 cdlemi.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
8 cdlemi.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
9 cdlemi.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
10 cdlemi.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11 cdlemi.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
12 cdlemi.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
13 cdlemi.r . . . . . 6 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
14 cdlemi.e . . . . . 6 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
156, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14cdlemi1 34918 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) (𝑃 (𝑅𝐺)))
161, 2, 3, 4, 5, 15syl221anc 1329 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) (𝑃 (𝑅𝐺)))
17 simp12 1085 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐹𝑇)
186, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14cdlemi2 34919 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
191, 2, 3, 17, 4, 5, 18syl231anc 1338 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
20 hllat 33462 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
211, 20syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐾 ∈ Lat)
22 simp11 1084 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2311, 12, 14tendocl 34867 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝐺𝑇) → (𝑈𝐺) ∈ 𝑇)
2422, 3, 4, 23syl3anc 1318 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑈𝐺) ∈ 𝑇)
25 simp2rl 1123 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑃𝐴)
266, 10atbase 33388 . . . . . . 7 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
2725, 26syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑃𝐵)
286, 11, 12ltrncl 34223 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐺) ∈ 𝑇𝑃𝐵) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐵)
2922, 24, 27, 28syl3anc 1318 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐵)
306, 11, 12, 13trlcl 34263 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐵)
3122, 4, 30syl2anc 691 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐵)
326, 8latjcl 16823 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵 ∧ (𝑅𝐺) ∈ 𝐵) → (𝑃 (𝑅𝐺)) ∈ 𝐵)
3321, 27, 31, 32syl3anc 1318 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑃 (𝑅𝐺)) ∈ 𝐵)
3411, 12, 14tendocl 34867 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝐹𝑇) → (𝑈𝐹) ∈ 𝑇)
3522, 3, 17, 34syl3anc 1318 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑈𝐹) ∈ 𝑇)
366, 11, 12ltrncl 34223 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐹) ∈ 𝑇𝑃𝐵) → ((𝑈𝐹)‘𝑃) ∈ 𝐵)
3722, 35, 27, 36syl3anc 1318 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑈𝐹)‘𝑃) ∈ 𝐵)
3811, 12ltrncnv 34244 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
3922, 17, 38syl2anc 691 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐹𝑇)
4011, 12ltrnco 34819 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐹𝑇) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
4122, 4, 39, 40syl3anc 1318 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
426, 11, 12, 13trlcl 34263 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵)
4322, 41, 42syl2anc 691 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵)
446, 8latjcl 16823 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑈𝐹)‘𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵) → (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵)
4521, 37, 43, 44syl3anc 1318 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵)
466, 7, 9latlem12 16850 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑈𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 (𝑅𝐺)) ∈ 𝐵 ∧ (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵)) → ((((𝑈𝐺)‘𝑃) (𝑃 (𝑅𝐺)) ∧ ((𝑈𝐺)‘𝑃) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ↔ ((𝑈𝐺)‘𝑃) ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))))
4721, 29, 33, 45, 46syl13anc 1320 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((((𝑈𝐺)‘𝑃) (𝑃 (𝑅𝐺)) ∧ ((𝑈𝐺)‘𝑃) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ↔ ((𝑈𝐺)‘𝑃) ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))))
4816, 19, 47mpbi2and 958 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
49 hlatl 33459 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
501, 49syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐾 ∈ AtLat)
517, 10, 11, 12ltrnat 34238 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐺) ∈ 𝑇𝑃𝐴) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐴)
5222, 24, 25, 51syl3anc 1318 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐴)
537, 10, 11, 12ltrnel 34237 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝑈𝐹)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑈𝐹)‘𝑃) 𝑊))
5422, 35, 5, 53syl3anc 1318 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (((𝑈𝐹)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑈𝐹)‘𝑃) 𝑊))
556, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14cdlemi1 34918 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑃 (𝑅𝐹)))
561, 2, 3, 17, 5, 55syl221anc 1329 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑃 (𝑅𝐹)))
575, 54, 563jca 1235 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (((𝑈𝐹)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑈𝐹)‘𝑃) 𝑊) ∧ ((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑃 (𝑅𝐹))))
58 eqid 2610 . . . . . . 7 ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
596, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 58cdlemh 34917 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (((𝑈𝐹)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑈𝐹)‘𝑃) 𝑊) ∧ ((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) 𝑊))
6059simpld 474 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (((𝑈𝐹)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑈𝐹)‘𝑃) 𝑊) ∧ ((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ∈ 𝐴)
6157, 60syld3an2 1365 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ∈ 𝐴)
627, 10atcmp 33410 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ ((𝑈𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ∈ 𝐴) → (((𝑈𝐺)‘𝑃) ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ↔ ((𝑈𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))))
6350, 52, 61, 62syl3anc 1318 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (((𝑈𝐺)‘𝑃) ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ↔ ((𝑈𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))))
6448, 63mpbid 221 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
65 cdlemi.s . 2 𝑆 = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
6664, 65syl6eqr 2662 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) = 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780   class class class wbr 4578   I cid 4938  ccnv 5027  cres 5030  ccom 5032  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15644  lecple 15724  joincjn 16716  meetcmee 16717  Latclat 16817  Atomscatm 33362  AtLatcal 33363  HLchlt 33449  LHypclh 34082  LTrncltrn 34199  trLctrl 34257  TEndoctendo 34852
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-riotaBAD 33051
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4368  df-iun 4452  df-iin 4453  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-undef 7264  df-map 7724  df-preset 16700  df-poset 16718  df-plt 16730  df-lub 16746  df-glb 16747  df-join 16748  df-meet 16749  df-p0 16811  df-p1 16812  df-lat 16818  df-clat 16880  df-oposet 33275  df-ol 33277  df-oml 33278  df-covers 33365  df-ats 33366  df-atl 33397  df-cvlat 33421  df-hlat 33450  df-llines 33596  df-lplanes 33597  df-lvols 33598  df-lines 33599  df-psubsp 33601  df-pmap 33602  df-padd 33894  df-lhyp 34086  df-laut 34087  df-ldil 34202  df-ltrn 34203  df-trl 34258  df-tendo 34855
This theorem is referenced by:  cdlemj1  34921
  Copyright terms: Public domain W3C validator