Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemi2 34908
Description: Part of proof of Lemma I of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 18-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemi.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemi.l = (le‘𝐾)
cdlemi.j = (join‘𝐾)
cdlemi.m = (meet‘𝐾)
cdlemi.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemi.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemi.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemi.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemi.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemi2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))

Proof of Theorem cdlemi2
StepHypRef Expression
1 simp1l 1077 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp1r 1078 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊𝐻)
3 simp21 1086 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑈𝐸)
4 simp1 1053 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
5 simp23 1088 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐺𝑇)
6 simp22 1087 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹𝑇)
7 cdlemi.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8 cdlemi.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
97, 8ltrncnv 34233 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
104, 6, 9syl2anc 690 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹𝑇)
117, 8ltrnco 34808 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐹𝑇) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
124, 5, 10, 11syl3anc 1317 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
13 cdlemi.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
147, 8, 13tendovalco 34854 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑈𝐸) ∧ ((𝐺𝐹) ∈ 𝑇𝐹𝑇)) → (𝑈‘((𝐺𝐹) ∘ 𝐹)) = ((𝑈‘(𝐺𝐹)) ∘ (𝑈𝐹)))
151, 2, 3, 12, 6, 14syl32anc 1325 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑈‘((𝐺𝐹) ∘ 𝐹)) = ((𝑈‘(𝐺𝐹)) ∘ (𝑈𝐹)))
16 coass 5556 . . . . . . 7 ((𝐺𝐹) ∘ 𝐹) = (𝐺 ∘ (𝐹𝐹))
17 cdlemi.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝐾)
1817, 7, 8ltrn1o 34211 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
194, 6, 18syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
20 f1ococnv1 6062 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
2221coeq2d 5193 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺 ∘ (𝐹𝐹)) = (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐵)))
2317, 7, 8ltrn1o 34211 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺:𝐵1-1-onto𝐵)
244, 5, 23syl2anc 690 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐺:𝐵1-1-onto𝐵)
25 f1of 6034 . . . . . . . . 9 (𝐺:𝐵1-1-onto𝐵𝐺:𝐵𝐵)
26 fcoi1 5975 . . . . . . . . 9 (𝐺:𝐵𝐵 → (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝐺)
2724, 25, 263syl 18 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝐺)
2822, 27eqtrd 2643 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺 ∘ (𝐹𝐹)) = 𝐺)
2916, 28syl5eq 2655 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝐹) ∘ 𝐹) = 𝐺)
3029fveq2d 6091 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑈‘((𝐺𝐹) ∘ 𝐹)) = (𝑈𝐺))
3115, 30eqtr3d 2645 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑈‘(𝐺𝐹)) ∘ (𝑈𝐹)) = (𝑈𝐺))
3231fveq1d 6089 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝑈‘(𝐺𝐹)) ∘ (𝑈𝐹))‘𝑃) = ((𝑈𝐺)‘𝑃))
337, 8, 13tendocl 34856 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸 ∧ (𝐺𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑈‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝑇)
344, 3, 12, 33syl3anc 1317 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑈‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝑇)
357, 8, 13tendocl 34856 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝐹𝑇) → (𝑈𝐹) ∈ 𝑇)
364, 3, 6, 35syl3anc 1317 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑈𝐹) ∈ 𝑇)
37 simp3l 1081 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃𝐴)
38 cdlemi.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
39 cdlemi.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4038, 39, 7, 8ltrncoval 34232 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑈‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝑇 ∧ (𝑈𝐹) ∈ 𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (((𝑈‘(𝐺𝐹)) ∘ (𝑈𝐹))‘𝑃) = ((𝑈‘(𝐺𝐹))‘((𝑈𝐹)‘𝑃)))
414, 34, 36, 37, 40syl121anc 1322 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝑈‘(𝐺𝐹)) ∘ (𝑈𝐹))‘𝑃) = ((𝑈‘(𝐺𝐹))‘((𝑈𝐹)‘𝑃)))
4232, 41eqtr3d 2645 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) = ((𝑈‘(𝐺𝐹))‘((𝑈𝐹)‘𝑃)))
4338, 39, 7, 8ltrnel 34226 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝑈𝐹)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑈𝐹)‘𝑃) 𝑊))
4436, 43syld3an2 1364 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝑈𝐹)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑈𝐹)‘𝑃) 𝑊))
45 cdlemi.j . . . 4 = (join‘𝐾)
46 cdlemi.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
47 cdlemi.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
4817, 38, 45, 46, 39, 7, 8, 47, 13cdlemi1 34907 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝐺𝐹) ∈ 𝑇) ∧ (((𝑈𝐹)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑈𝐹)‘𝑃) 𝑊)) → ((𝑈‘(𝐺𝐹))‘((𝑈𝐹)‘𝑃)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
494, 3, 12, 44, 48syl121anc 1322 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑈‘(𝐺𝐹))‘((𝑈𝐹)‘𝑃)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
5042, 49eqbrtrd 4599 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976   class class class wbr 4577   I cid 4937  ccnv 5026  cres 5029  ccom 5031  wf 5785  1-1-ontowf1o 5788  cfv 5789  (class class class)co 6526  Basecbs 15643  lecple 15723  joincjn 16715  meetcmee 16716  Atomscatm 33351  HLchlt 33438  LHypclh 34071  LTrncltrn 34188  trLctrl 34246  TEndoctendo 34841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-riotaBAD 33040
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4942  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-undef 7263  df-map 7723  df-preset 16699  df-poset 16717  df-plt 16729  df-lub 16745  df-glb 16746  df-join 16747  df-meet 16748  df-p0 16810  df-p1 16811  df-lat 16817  df-clat 16879  df-oposet 33264  df-ol 33266  df-oml 33267  df-covers 33354  df-ats 33355  df-atl 33386  df-cvlat 33410  df-hlat 33439  df-llines 33585  df-lplanes 33586  df-lvols 33587  df-lines 33588  df-psubsp 33590  df-pmap 33591  df-padd 33883  df-lhyp 34075  df-laut 34076  df-ldil 34191  df-ltrn 34192  df-trl 34247  df-tendo 34844
This theorem is referenced by:  cdlemi  34909
  Copyright terms: Public domain W3C validator