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Theorem cdlemk28-3 35662
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 14-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk3.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk3.l = (le‘𝐾)
cdlemk3.j = (join‘𝐾)
cdlemk3.m = (meet‘𝐾)
cdlemk3.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk3.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk3.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk3.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk3.s 𝑆 = (𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))
cdlemk3.u1 𝑌 = (𝑑𝑇, 𝑒𝑇 ↦ (𝑗𝑇 (𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑒)) (((𝑆𝑑)‘𝑃) (𝑅‘(𝑒𝑑))))))
Assertion
Ref Expression
cdlemk28-3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → ∃𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → 𝑧 = (𝑏𝑌𝐺)))
Distinct variable groups:   𝑒,𝑑,𝑓,𝑖,   ,𝑖   ,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝐴,𝑖   𝑗,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝐹   𝐺,𝑑,𝑒,𝑗   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑅,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑇,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑊,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑏   ,𝑗   ,𝑗   ,𝑗   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝐻   𝑗,𝐾   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗   𝑅,𝑗   𝑏,𝑑,𝑆,𝑒,𝑗   𝑇,𝑗   𝑗,𝑊   𝐹,𝑑,𝑒   ,𝑒   𝑓,𝐺,𝑖   ,𝑏   𝐴,𝑏   𝑧,𝑏,𝐵   𝐹,𝑏,𝑧   𝐺,𝑏,𝑧   𝐻,𝑏   𝐾,𝑏   𝑁,𝑏   𝑃,𝑏   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   𝑊,𝑏,𝑧   𝑌,𝑏,𝑧   𝑧,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,𝑒,𝑓,𝑑)   𝐵(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑑)   𝑃(𝑧)   𝑆(𝑧,𝑓,𝑖)   𝐻(𝑧,𝑒,𝑓,𝑑)   (𝑧,𝑏)   𝐾(𝑧,𝑒,𝑓,𝑑)   (𝑧,𝑓,𝑑)   (𝑧,𝑏)   𝑁(𝑧,𝑒,𝑑)   𝑌(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑑)

Proof of Theorem cdlemk28-3
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1059 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp21l 1176 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → 𝐹𝑇)
3 simp21r 1177 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
4 simp23 1094 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → 𝑁𝑇)
52, 3, 43jca 1240 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇))
6 simp22l 1178 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → 𝐺𝑇)
7 simp22r 1179 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
8 simp3r 1088 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))
96, 7, 83jca 1240 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)))
10 simp3l 1087 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
11 cdlemk3.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
12 cdlemk3.l . . . 4 = (le‘𝐾)
13 cdlemk3.j . . . 4 = (join‘𝐾)
14 cdlemk3.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
15 cdlemk3.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
16 cdlemk3.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
17 cdlemk3.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
18 cdlemk3.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
19 cdlemk3.s . . . 4 𝑆 = (𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))
20 cdlemk3.u1 . . . 4 𝑌 = (𝑑𝑇, 𝑒𝑇 ↦ (𝑗𝑇 (𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑒)) (((𝑆𝑑)‘𝑃) (𝑅‘(𝑒𝑑))))))
2111, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20cdlemk26b-3 35659 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ∃𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑏𝑌𝐺) ∈ 𝑇))
221, 5, 9, 10, 21syl31anc 1326 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → ∃𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑏𝑌𝐺) ∈ 𝑇))
23 simp11 1089 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2423ad2ant1 1080 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝐹𝑇)
25 simp2l 1085 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝑏𝑇)
26 simp123 1193 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝑁𝑇)
2724, 25, 263jca 1240 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝐹𝑇𝑏𝑇𝑁𝑇))
2863ad2ant1 1080 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝐺𝑇)
29 simp2r 1086 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝑎𝑇)
3028, 29jca 554 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝐺𝑇𝑎𝑇))
31 simp13l 1174 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
32 simp13r 1175 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))
3333ad2ant1 1080 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
34 simp3l1 1164 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵))
3532, 33, 343jca 1240 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
3673ad2ant1 1080 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
37 simp3r1 1167 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵))
3836, 37jca 554 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
39 simp3r3 1169 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺))
4039necomd 2851 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑎))
41 simp3r2 1168 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹))
42 simp3l2 1165 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹))
4340, 41, 423jca 1240 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑎) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹)))
44 simp3l3 1166 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺))
4544necomd 2851 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑏))
4611, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20cdlemk27-3 35661 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑏𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝑎𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑎) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑏))) → (𝑏𝑌𝐺) = (𝑎𝑌𝐺))
4723, 27, 30, 31, 35, 38, 43, 45, 46syl332anc 1354 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑏𝑇𝑎𝑇) ∧ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝑏𝑌𝐺) = (𝑎𝑌𝐺))
48473exp 1261 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → ((𝑏𝑇𝑎𝑇) → (((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑏𝑌𝐺) = (𝑎𝑌𝐺))))
4948ralrimivv 2969 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → ∀𝑏𝑇𝑎𝑇 (((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑏𝑌𝐺) = (𝑎𝑌𝐺)))
50 neeq1 2858 . . . . 5 (𝑏 = 𝑎 → (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
51 fveq2 6150 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑎 → (𝑅𝑏) = (𝑅𝑎))
5251neeq1d 2855 . . . . 5 (𝑏 = 𝑎 → ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ↔ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹)))
5351neeq1d 2855 . . . . 5 (𝑏 = 𝑎 → ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺) ↔ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺)))
5450, 52, 533anbi123d 1396 . . . 4 (𝑏 = 𝑎 → ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ↔ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺))))
55 oveq1 6612 . . . 4 (𝑏 = 𝑎 → (𝑏𝑌𝐺) = (𝑎𝑌𝐺))
5654, 55reusv3 4841 . . 3 (∃𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑏𝑌𝐺) ∈ 𝑇) → (∀𝑏𝑇𝑎𝑇 (((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑏𝑌𝐺) = (𝑎𝑌𝐺)) ↔ ∃𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → 𝑧 = (𝑏𝑌𝐺))))
5756biimpd 219 . 2 (∃𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑏𝑌𝐺) ∈ 𝑇) → (∀𝑏𝑇𝑎𝑇 (((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑎) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑏𝑌𝐺) = (𝑎𝑌𝐺)) → ∃𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → 𝑧 = (𝑏𝑌𝐺))))
5822, 49, 57sylc 65 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → ∃𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → 𝑧 = (𝑏𝑌𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  wral 2912  wrex 2913   class class class wbr 4618  cmpt 4678   I cid 4989  ccnv 5078  cres 5081  ccom 5083  cfv 5850  crio 6565  (class class class)co 6605  cmpt2 6607  Basecbs 15776  lecple 15864  joincjn 16860  meetcmee 16861  Atomscatm 34016  HLchlt 34103  LHypclh 34736  LTrncltrn 34853  trLctrl 34911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-riotaBAD 33705
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-undef 7345  df-map 7805  df-preset 16844  df-poset 16862  df-plt 16874  df-lub 16890  df-glb 16891  df-join 16892  df-meet 16893  df-p0 16955  df-p1 16956  df-lat 16962  df-clat 17024  df-oposet 33929  df-ol 33931  df-oml 33932  df-covers 34019  df-ats 34020  df-atl 34051  df-cvlat 34075  df-hlat 34104  df-llines 34250  df-lplanes 34251  df-lvols 34252  df-lines 34253  df-psubsp 34255  df-pmap 34256  df-padd 34548  df-lhyp 34740  df-laut 34741  df-ldil 34856  df-ltrn 34857  df-trl 34912
This theorem is referenced by:  cdlemk29-3  35665
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