Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemk4 34939
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118, last line. We use 𝑋 for their h, since 𝐻 is already used. (Contributed by NM, 24-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk.l = (le‘𝐾)
cdlemk.j = (join‘𝐾)
cdlemk.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdlemk4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝑃) ((𝑋𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐹))))

Proof of Theorem cdlemk4
StepHypRef Expression
1 simp1l 1077 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp1 1053 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3 simp2l 1079 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹𝑇)
4 simp3l 1081 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃𝐴)
5 cdlemk.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
6 cdlemk.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 cdlemk.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8 cdlemk.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
95, 6, 7, 8ltrnat 34243 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐴) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
102, 3, 4, 9syl3anc 1317 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
11 simp2r 1080 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑋𝑇)
125, 6, 7, 8ltrnat 34243 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑇𝑃𝐴) → (𝑋𝑃) ∈ 𝐴)
132, 11, 4, 12syl3anc 1317 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑋𝑃) ∈ 𝐴)
14 cdlemk.j . . . 4 = (join‘𝐾)
155, 14, 6hlatlej1 33478 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝑃) ∈ 𝐴) → (𝐹𝑃) ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)))
161, 10, 13, 15syl3anc 1317 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝑃) ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)))
17 hllat 33467 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
181, 17syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
19 cdlemk.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
2019, 6atbase 33393 . . . . . 6 ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 → (𝐹𝑃) ∈ 𝐵)
2110, 20syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐵)
2219, 6atbase 33393 . . . . . 6 ((𝑋𝑃) ∈ 𝐴 → (𝑋𝑃) ∈ 𝐵)
2313, 22syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑋𝑃) ∈ 𝐵)
2419, 14latjcl 16816 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋𝑃) ∈ 𝐵) → ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) ∈ 𝐵)
2518, 21, 23, 24syl3anc 1317 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) ∈ 𝐵)
26 simp1r 1078 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊𝐻)
2719, 7lhpbase 34101 . . . . 5 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
2826, 27syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊𝐵)
295, 14, 6hlatlej2 33479 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝑃) ∈ 𝐴) → (𝑋𝑃) ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)))
301, 10, 13, 29syl3anc 1317 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑋𝑃) ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)))
31 cdlemk.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
3219, 5, 14, 31, 6atmod3i1 33967 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑋𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) ∈ 𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝑋𝑃) ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃))) → ((𝑋𝑃) (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) 𝑊)) = (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑋𝑃) 𝑊)))
331, 13, 25, 28, 30, 32syl131anc 1330 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑋𝑃) (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) 𝑊)) = (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑋𝑃) 𝑊)))
347, 8ltrncnv 34249 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
352, 3, 34syl2anc 690 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹𝑇)
367, 8ltrnco 34824 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑇𝐹𝑇) → (𝑋𝐹) ∈ 𝑇)
372, 11, 35, 36syl3anc 1317 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑋𝐹) ∈ 𝑇)
385, 6, 7, 8ltrnel 34242 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
393, 38syld3an2 1364 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
40 cdlemk.r . . . . . . 7 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
415, 14, 31, 6, 7, 8, 40trlval2 34267 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐹) ∈ 𝑇 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊)) → (𝑅‘(𝑋𝐹)) = (((𝐹𝑃) ((𝑋𝐹)‘(𝐹𝑃))) 𝑊))
422, 37, 39, 41syl3anc 1317 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝑋𝐹)) = (((𝐹𝑃) ((𝑋𝐹)‘(𝐹𝑃))) 𝑊))
4319, 7, 8ltrn1o 34227 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
442, 3, 43syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
45 f1ococnv1 6059 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
4746coeq2d 5190 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑋 ∘ (𝐹𝐹)) = (𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵)))
4819, 7, 8ltrn1o 34227 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑇) → 𝑋:𝐵1-1-onto𝐵)
492, 11, 48syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑋:𝐵1-1-onto𝐵)
50 f1of 6031 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋:𝐵1-1-onto𝐵𝑋:𝐵𝐵)
51 fcoi1 5972 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋:𝐵𝐵 → (𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝑋)
5249, 50, 513syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝑋)
5347, 52eqtr2d 2640 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑋 = (𝑋 ∘ (𝐹𝐹)))
54 coass 5553 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐹) ∘ 𝐹) = (𝑋 ∘ (𝐹𝐹))
5553, 54syl6eqr 2657 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑋 = ((𝑋𝐹) ∘ 𝐹))
5655fveq1d 6086 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑋𝑃) = (((𝑋𝐹) ∘ 𝐹)‘𝑃))
575, 6, 7, 8ltrncoval 34248 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋𝐹) ∈ 𝑇𝐹𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (((𝑋𝐹) ∘ 𝐹)‘𝑃) = ((𝑋𝐹)‘(𝐹𝑃)))
582, 37, 3, 4, 57syl121anc 1322 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝑋𝐹) ∘ 𝐹)‘𝑃) = ((𝑋𝐹)‘(𝐹𝑃)))
5956, 58eqtrd 2639 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑋𝑃) = ((𝑋𝐹)‘(𝐹𝑃)))
6059oveq2d 6539 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) = ((𝐹𝑃) ((𝑋𝐹)‘(𝐹𝑃))))
6160eqcomd 2611 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ((𝑋𝐹)‘(𝐹𝑃))) = ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)))
6261oveq1d 6538 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐹𝑃) ((𝑋𝐹)‘(𝐹𝑃))) 𝑊) = (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) 𝑊))
6342, 62eqtrd 2639 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝑋𝐹)) = (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) 𝑊))
6463oveq2d 6539 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑋𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐹))) = ((𝑋𝑃) (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) 𝑊)))
655, 6, 7, 8ltrnel 34242 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑋𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑋𝑃) 𝑊))
6611, 65syld3an2 1364 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑋𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑋𝑃) 𝑊))
67 eqid 2605 . . . . . . 7 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
685, 14, 67, 6, 7lhpjat2 34124 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑋𝑃) 𝑊)) → ((𝑋𝑃) 𝑊) = (1.‘𝐾))
692, 66, 68syl2anc 690 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑋𝑃) 𝑊) = (1.‘𝐾))
7069oveq2d 6539 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑋𝑃) 𝑊)) = (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) (1.‘𝐾)))
71 hlol 33465 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
721, 71syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ OL)
7319, 31, 67olm11 33331 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) ∈ 𝐵) → (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) (1.‘𝐾)) = ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)))
7472, 25, 73syl2anc 690 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) (1.‘𝐾)) = ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)))
7570, 74eqtr2d 2640 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) = (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑋𝑃) 𝑊)))
7633, 64, 753eqtr4rd 2650 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) = ((𝑋𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐹))))
7716, 76breqtrd 4599 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝑃) ((𝑋𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975   class class class wbr 4573   I cid 4934  ccnv 5023  cres 5026  ccom 5028  wf 5782  1-1-ontowf1o 5785  cfv 5786  (class class class)co 6523  Basecbs 15637  lecple 15717  joincjn 16709  meetcmee 16710  1.cp1 16803  Latclat 16810  OLcol 33278  Atomscatm 33367  HLchlt 33454  LHypclh 34087  LTrncltrn 34204  trLctrl 34262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-riotaBAD 33056
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-iin 4448  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-id 4939  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-undef 7259  df-map 7719  df-preset 16693  df-poset 16711  df-plt 16723  df-lub 16739  df-glb 16740  df-join 16741  df-meet 16742  df-p0 16804  df-p1 16805  df-lat 16811  df-clat 16873  df-oposet 33280  df-ol 33282  df-oml 33283  df-covers 33370  df-ats 33371  df-atl 33402  df-cvlat 33426  df-hlat 33455  df-llines 33601  df-lplanes 33602  df-lvols 33603  df-lines 33604  df-psubsp 33606  df-pmap 33607  df-padd 33899  df-lhyp 34091  df-laut 34092  df-ldil 34207  df-ltrn 34208  df-trl 34263
This theorem is referenced by:  cdlemk5a  34940
  Copyright terms: Public domain W3C validator