Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk52 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemk52 37970
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Line 6, p. 120. 𝐺, 𝐼 stand for g, h. 𝑋 represents tau. (Contributed by NM, 23-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l = (le‘𝐾)
cdlemk5.j = (join‘𝐾)
cdlemk5.m = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
cdlemk5.y 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
cdlemk5.x 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
Assertion
Ref Expression
cdlemk52 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋)‘𝑃) = ((𝐺𝐼) / 𝑔𝑋𝑃))
Distinct variable groups:   ,𝑔   ,𝑔   𝐵,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏,𝐺,𝑧   ,𝑏,𝑧   ,𝑏   𝑧,𝑔,   ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝐺   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑁,𝑏,𝑔,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   𝑊,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝑌   𝐺,𝑏   𝐼,𝑏,𝑔,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑋(𝑧,𝑔,𝑏)   𝑌(𝑔,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑏)

Proof of Theorem cdlemk52
StepHypRef Expression
1 cdlemk5.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cdlemk5.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 simp11l 1276 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → 𝐾 ∈ HL)
43hllatd 36380 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simp11 1195 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6 simp12 1196 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
7 simp13 1197 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
8 simp21 1198 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → 𝑁𝑇)
9 simp22 1199 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
10 simp23 1200 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))
11 cdlemk5.j . . . . . . . . 9 = (join‘𝐾)
12 cdlemk5.m . . . . . . . . 9 = (meet‘𝐾)
13 cdlemk5.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
14 cdlemk5.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
15 cdlemk5.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
16 cdlemk5.r . . . . . . . . 9 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
17 cdlemk5.z . . . . . . . . 9 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
18 cdlemk5.y . . . . . . . . 9 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
19 cdlemk5.x . . . . . . . . 9 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
201, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19cdlemk35s 37953 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → 𝐺 / 𝑔𝑋𝑇)
215, 6, 7, 8, 9, 10, 20syl132anc 1380 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → 𝐺 / 𝑔𝑋𝑇)
22 simp31 1201 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → 𝐼𝑇)
23 simp32 1202 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))
2422, 23jca 512 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
251, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19cdlemk35s 37953 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → 𝐼 / 𝑔𝑋𝑇)
265, 6, 24, 8, 9, 10, 25syl132anc 1380 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → 𝐼 / 𝑔𝑋𝑇)
2714, 15ltrnco 37735 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺 / 𝑔𝑋𝑇𝐼 / 𝑔𝑋𝑇) → (𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋) ∈ 𝑇)
285, 21, 26, 27syl3anc 1363 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋) ∈ 𝑇)
29 simp22l 1284 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → 𝑃𝐴)
302, 13, 14, 15ltrnat 37156 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋) ∈ 𝑇𝑃𝐴) → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐴)
315, 28, 29, 30syl3anc 1363 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐴)
321, 13atbase 36305 . . . . 5 (((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐴 → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐵)
3331, 32syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐵)
342, 13, 14, 15ltrnat 37156 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺 / 𝑔𝑋𝑇𝑃𝐴) → (𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐴)
355, 21, 29, 34syl3anc 1363 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐴)
361, 13atbase 36305 . . . . . . 7 ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐴 → (𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐵)
3735, 36syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐵)
381, 14, 15, 16trlcl 37180 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐼 / 𝑔𝑋𝑇) → (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋) ∈ 𝐵)
395, 26, 38syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋) ∈ 𝐵)
401, 11latjcl 17649 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋)) ∈ 𝐵)
414, 37, 39, 40syl3anc 1363 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋)) ∈ 𝐵)
422, 13, 14, 15ltrnat 37156 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐼 / 𝑔𝑋𝑇𝑃𝐴) → (𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐴)
435, 26, 29, 42syl3anc 1363 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐴)
441, 13atbase 36305 . . . . . . 7 ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐴 → (𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐵)
4543, 44syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐵)
461, 14, 15, 16trlcl 37180 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺 / 𝑔𝑋𝑇) → (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋) ∈ 𝐵)
475, 21, 46syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋) ∈ 𝐵)
481, 11latjcl 17649 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋)) ∈ 𝐵)
494, 45, 47, 48syl3anc 1363 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋)) ∈ 𝐵)
501, 12latmcl 17650 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋)) ∈ 𝐵) → (((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋)) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋))) ∈ 𝐵)
514, 41, 49, 50syl3anc 1363 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋)) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋))) ∈ 𝐵)
52 simp11r 1277 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → 𝑊𝐻)
531, 13, 14, 15, 16trlnidat 37189 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝐼) ∈ 𝐴)
543, 52, 22, 23, 53syl211anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝑅𝐼) ∈ 𝐴)
551, 11, 13hlatjcl 36383 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅𝐼) ∈ 𝐴) → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼)) ∈ 𝐵)
563, 35, 54, 55syl3anc 1363 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼)) ∈ 𝐵)
57 simp13l 1280 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → 𝐺𝑇)
58 simp13r 1281 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
591, 13, 14, 15, 16trlnidat 37189 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐴)
603, 52, 57, 58, 59syl211anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐴)
611, 11, 13hlatjcl 36383 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅𝐺) ∈ 𝐴) → ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺)) ∈ 𝐵)
623, 43, 60, 61syl3anc 1363 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺)) ∈ 𝐵)
631, 12latmcl 17650 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺)) ∈ 𝐵) → (((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼)) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺))) ∈ 𝐵)
644, 56, 62, 63syl3anc 1363 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼)) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺))) ∈ 𝐵)
651, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19cdlemk50 37968 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋)‘𝑃) (((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋)) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋))))
6624, 65syld3an3 1401 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋)‘𝑃) (((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋)) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋))))
671, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19cdlemk51 37969 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋)) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋))) (((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼)) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺))))
6824, 67syld3an3 1401 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼 / 𝑔𝑋)) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋))) (((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼)) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺))))
691, 2, 4, 33, 51, 64, 66, 68lattrd 17656 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋)‘𝑃) (((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼)) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺))))
701, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19cdlemk47 37965 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → ((𝐺𝐼) / 𝑔𝑋𝑃) = (((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼)) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺))))
7169, 70breqtrrd 5085 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋)‘𝑃) ((𝐺𝐼) / 𝑔𝑋𝑃))
72 hlatl 36376 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
733, 72syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → 𝐾 ∈ AtLat)
7414, 15ltrnco 37735 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇) → (𝐺𝐼) ∈ 𝑇)
755, 57, 22, 74syl3anc 1363 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐺𝐼) ∈ 𝑇)
7657, 22jca 512 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐺𝑇𝐼𝑇))
77 simp33 1203 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))
781, 14, 15, 16trlconid 37741 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝐼𝑇) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼)) → (𝐺𝐼) ≠ ( I ↾ 𝐵))
795, 76, 77, 78syl3anc 1363 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐺𝐼) ≠ ( I ↾ 𝐵))
8075, 79jca 512 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → ((𝐺𝐼) ∈ 𝑇 ∧ (𝐺𝐼) ≠ ( I ↾ 𝐵)))
811, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19cdlemk35s 37953 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝐺𝐼) ∈ 𝑇 ∧ (𝐺𝐼) ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → (𝐺𝐼) / 𝑔𝑋𝑇)
825, 6, 80, 8, 9, 10, 81syl132anc 1380 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐺𝐼) / 𝑔𝑋𝑇)
832, 13, 14, 15ltrnat 37156 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝐼) / 𝑔𝑋𝑇𝑃𝐴) → ((𝐺𝐼) / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐴)
845, 82, 29, 83syl3anc 1363 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → ((𝐺𝐼) / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐴)
852, 13atcmp 36327 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ ((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ((𝐺𝐼) / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐴) → (((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋)‘𝑃) ((𝐺𝐼) / 𝑔𝑋𝑃) ↔ ((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋)‘𝑃) = ((𝐺𝐼) / 𝑔𝑋𝑃)))
8673, 31, 84, 85syl3anc 1363 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋)‘𝑃) ((𝐺𝐼) / 𝑔𝑋𝑃) ↔ ((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋)‘𝑃) = ((𝐺𝐼) / 𝑔𝑋𝑃)))
8771, 86mpbid 233 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋)‘𝑃) = ((𝐺𝐼) / 𝑔𝑋𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  csb 3880   class class class wbr 5057   I cid 5452  ccnv 5547  cres 5550  ccom 5552  cfv 6348  crio 7102  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  lecple 16560  joincjn 17542  meetcmee 17543  Latclat 17643  Atomscatm 36279  AtLatcal 36280  HLchlt 36366  LHypclh 37000  LTrncltrn 37117  trLctrl 37174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-riotaBAD 35969
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-undef 7928  df-map 8397  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-clat 17706  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-llines 36514  df-lplanes 36515  df-lvols 36516  df-lines 36517  df-psubsp 36519  df-pmap 36520  df-padd 36812  df-lhyp 37004  df-laut 37005  df-ldil 37120  df-ltrn 37121  df-trl 37175
This theorem is referenced by:  cdlemk53a  37971
  Copyright terms: Public domain W3C validator