Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk53 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemk53 35722
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Line 7, p. 120. 𝐺, 𝐼 stand for g, h. 𝑋 represents tau. (Contributed by NM, 26-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l = (le‘𝐾)
cdlemk5.j = (join‘𝐾)
cdlemk5.m = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
cdlemk5.y 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
cdlemk5.x 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
Assertion
Ref Expression
cdlemk53 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐺𝐼) / 𝑔𝑋 = (𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋))
Distinct variable groups:   ,𝑔   ,𝑔   𝐵,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏,𝐺,𝑧   ,𝑏,𝑧   ,𝑏   𝑧,𝑔,   ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝐺   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑁,𝑏,𝑔,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   𝑊,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝑌   𝐺,𝑏   𝐼,𝑏,𝑔,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑋(𝑧,𝑔,𝑏)   𝑌(𝑔,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑏)

Proof of Theorem cdlemk53
StepHypRef Expression
1 simp1l 1083 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp211 1197 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → 𝐹𝑇)
3 simp212 1198 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
42, 3jca 554 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
5 simp22 1093 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → 𝐺𝑇)
6 simp213 1199 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → 𝑁𝑇)
7 simp23 1094 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
8 simp1r 1084 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))
9 cdlemk5.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
10 cdlemk5.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
11 cdlemk5.j . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
12 cdlemk5.m . . . . . . . 8 = (meet‘𝐾)
13 cdlemk5.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
14 cdlemk5.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
15 cdlemk5.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
16 cdlemk5.r . . . . . . . 8 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
17 cdlemk5.z . . . . . . . 8 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
18 cdlemk5.y . . . . . . . 8 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
19 cdlemk5.x . . . . . . . 8 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
209, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19cdlemk35s-id 35703 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝐺𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → 𝐺 / 𝑔𝑋𝑇)
211, 4, 5, 6, 7, 8, 20syl132anc 1341 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → 𝐺 / 𝑔𝑋𝑇)
229, 14, 15ltrn1o 34887 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺 / 𝑔𝑋𝑇) → 𝐺 / 𝑔𝑋:𝐵1-1-onto𝐵)
231, 21, 22syl2anc 692 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → 𝐺 / 𝑔𝑋:𝐵1-1-onto𝐵)
24 f1of 6094 . . . . 5 (𝐺 / 𝑔𝑋:𝐵1-1-onto𝐵𝐺 / 𝑔𝑋:𝐵𝐵)
25 fcoi1 6035 . . . . 5 (𝐺 / 𝑔𝑋:𝐵𝐵 → (𝐺 / 𝑔𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝐺 / 𝑔𝑋)
2623, 24, 253syl 18 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐺 / 𝑔𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝐺 / 𝑔𝑋)
2726adantr 481 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐺 / 𝑔𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝐺 / 𝑔𝑋)
28 simpl1l 1110 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
292, 6, 83jca 1240 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)))
3029adantr 481 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)))
31 simpl23 1139 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
32 simpr 477 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐼 = ( I ↾ 𝐵))
339, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19cdlemkid 35701 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵))) → 𝐼 / 𝑔𝑋 = ( I ↾ 𝐵))
3428, 30, 31, 32, 33syl112anc 1327 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐼 / 𝑔𝑋 = ( I ↾ 𝐵))
3534coeq2d 5244 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋) = (𝐺 / 𝑔𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵)))
3632coeq2d 5244 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐺𝐼) = (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐵)))
379, 14, 15ltrn1o 34887 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺:𝐵1-1-onto𝐵)
381, 5, 37syl2anc 692 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → 𝐺:𝐵1-1-onto𝐵)
39 f1of 6094 . . . . . . 7 (𝐺:𝐵1-1-onto𝐵𝐺:𝐵𝐵)
40 fcoi1 6035 . . . . . . 7 (𝐺:𝐵𝐵 → (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝐺)
4138, 39, 403syl 18 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝐺)
4241adantr 481 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝐺)
4336, 42eqtrd 2655 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐺𝐼) = 𝐺)
4443csbeq1d 3521 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐺𝐼) / 𝑔𝑋 = 𝐺 / 𝑔𝑋)
4527, 35, 443eqtr4rd 2666 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐺𝐼) / 𝑔𝑋 = (𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋))
46 simpl1 1062 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)))
47 simpl2 1063 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)))
48 simpl3l 1114 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐼𝑇)
49 simpr 477 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))
50 simpl3r 1115 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))
519, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19cdlemk53b 35721 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐺𝐼) / 𝑔𝑋 = (𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋))
5246, 47, 48, 49, 50, 51syl113anc 1335 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐺𝐼) / 𝑔𝑋 = (𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋))
5345, 52pm2.61dane 2877 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐺𝐼) / 𝑔𝑋 = (𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  csb 3514   class class class wbr 4613   I cid 4984  ccnv 5073  cres 5076  ccom 5078  wf 5843  1-1-ontowf1o 5846  cfv 5847  crio 6564  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  lecple 15869  joincjn 16865  meetcmee 16866  Atomscatm 34027  HLchlt 34114  LHypclh 34747  LTrncltrn 34864  trLctrl 34922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-riotaBAD 33716
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-undef 7344  df-map 7804  df-preset 16849  df-poset 16867  df-plt 16879  df-lub 16895  df-glb 16896  df-join 16897  df-meet 16898  df-p0 16960  df-p1 16961  df-lat 16967  df-clat 17029  df-oposet 33940  df-ol 33942  df-oml 33943  df-covers 34030  df-ats 34031  df-atl 34062  df-cvlat 34086  df-hlat 34115  df-llines 34261  df-lplanes 34262  df-lvols 34263  df-lines 34264  df-psubsp 34266  df-pmap 34267  df-padd 34559  df-lhyp 34751  df-laut 34752  df-ldil 34867  df-ltrn 34868  df-trl 34923
This theorem is referenced by:  cdlemk54  35723  cdlemk55  35726
  Copyright terms: Public domain W3C validator