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Theorem cdlemk55a 37977
Description: Lemma for cdlemk55 37979. (Contributed by NM, 26-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l = (le‘𝐾)
cdlemk5.j = (join‘𝐾)
cdlemk5.m = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
cdlemk5.y 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
cdlemk5.x 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
Assertion
Ref Expression
cdlemk55a ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ ((𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐼)) ∧ 𝑗𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺𝐼))))) → (𝐺𝐼) / 𝑔𝑋 = (𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋))
Distinct variable groups:   ,𝑔   ,𝑔   𝐵,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏,𝐺,𝑧   ,𝑏,𝑧   ,𝑏   𝑧,𝑔,   ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝐺   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑁,𝑏,𝑔,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   𝑊,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝑌   𝐺,𝑏   𝐼,𝑏,𝑔,𝑧   𝑗,𝑏,𝑔,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑗)   𝑃(𝑗)   𝑅(𝑗)   𝑇(𝑗)   𝐹(𝑗)   𝐺(𝑗)   𝐻(𝑗)   𝐼(𝑗)   (𝑗)   𝐾(𝑗)   (𝑗)   (𝑗)   𝑁(𝑗)   𝑊(𝑗)   𝑋(𝑧,𝑔,𝑗,𝑏)   𝑌(𝑔,𝑗,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑗,𝑏)

Proof of Theorem cdlemk55a
StepHypRef Expression
1 simp1l 1189 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ ((𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐼)) ∧ 𝑗𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺𝐼))))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp211 1303 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ ((𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐼)) ∧ 𝑗𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺𝐼))))) → 𝐹𝑇)
3 simp212 1304 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ ((𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐼)) ∧ 𝑗𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺𝐼))))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
42, 3jca 512 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ ((𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐼)) ∧ 𝑗𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺𝐼))))) → (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
5 simp32 1202 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ ((𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐼)) ∧ 𝑗𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺𝐼))))) → 𝑗𝑇)
6 simp213 1305 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ ((𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐼)) ∧ 𝑗𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺𝐼))))) → 𝑁𝑇)
7 simp23 1200 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ ((𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐼)) ∧ 𝑗𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺𝐼))))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
8 simp1r 1190 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ ((𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐼)) ∧ 𝑗𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺𝐼))))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))
97, 8jca 512 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ ((𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐼)) ∧ 𝑗𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺𝐼))))) → ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)))
10 cdlemk5.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐾)
11 cdlemk5.l . . . . . . . . 9 = (le‘𝐾)
12 cdlemk5.j . . . . . . . . 9 = (join‘𝐾)
13 cdlemk5.m . . . . . . . . 9 = (meet‘𝐾)
14 cdlemk5.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
15 cdlemk5.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
16 cdlemk5.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
17 cdlemk5.r . . . . . . . . 9 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
18 cdlemk5.z . . . . . . . . 9 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
19 cdlemk5.y . . . . . . . . 9 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
20 cdlemk5.x . . . . . . . . 9 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
2110, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20cdlemk35s-id 37956 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑗𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → 𝑗 / 𝑔𝑋𝑇)
221, 4, 5, 6, 9, 21syl131anc 1375 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ ((𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐼)) ∧ 𝑗𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺𝐼))))) → 𝑗 / 𝑔𝑋𝑇)
2310, 15, 16ltrn1o 37142 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑗 / 𝑔𝑋𝑇) → 𝑗 / 𝑔𝑋:𝐵1-1-onto𝐵)
241, 22, 23syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ ((𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐼)) ∧ 𝑗𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺𝐼))))) → 𝑗 / 𝑔𝑋:𝐵1-1-onto𝐵)
25 f1ococnv2 6635 . . . . . 6 (𝑗 / 𝑔𝑋:𝐵1-1-onto𝐵 → (𝑗 / 𝑔𝑋𝑗 / 𝑔𝑋) = ( I ↾ 𝐵))
2624, 25syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ ((𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐼)) ∧ 𝑗𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺𝐼))))) → (𝑗 / 𝑔𝑋𝑗 / 𝑔𝑋) = ( I ↾ 𝐵))
2726coeq2d 5727 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ ((𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐼)) ∧ 𝑗𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺𝐼))))) → ((𝐺𝐼) / 𝑔𝑋 ∘ (𝑗 / 𝑔𝑋𝑗 / 𝑔𝑋)) = ((𝐺𝐼) / 𝑔𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵)))
28 simp22 1199 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ ((𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐼)) ∧ 𝑗𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺𝐼))))) → 𝐺𝑇)
29 simp31l 1288 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ ((𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐼)) ∧ 𝑗𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺𝐼))))) → 𝐼𝑇)
3015, 16ltrnco 37737 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇) → (𝐺𝐼) ∈ 𝑇)
311, 28, 29, 30syl3anc 1363 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ ((𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐼)) ∧ 𝑗𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺𝐼))))) → (𝐺𝐼) ∈ 𝑇)
3210, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20cdlemk35s-id 37956 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝐼) ∈ 𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → (𝐺𝐼) / 𝑔𝑋𝑇)
331, 4, 31, 6, 9, 32syl131anc 1375 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ ((𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐼)) ∧ 𝑗𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺𝐼))))) → (𝐺𝐼) / 𝑔𝑋𝑇)
3410, 15, 16ltrn1o 37142 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝐼) / 𝑔𝑋𝑇) → (𝐺𝐼) / 𝑔𝑋:𝐵1-1-onto𝐵)
351, 33, 34syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ ((𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐼)) ∧ 𝑗𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺𝐼))))) → (𝐺𝐼) / 𝑔𝑋:𝐵1-1-onto𝐵)
36 f1of 6609 . . . . 5 ((𝐺𝐼) / 𝑔𝑋:𝐵1-1-onto𝐵(𝐺𝐼) / 𝑔𝑋:𝐵𝐵)
37 fcoi1 6546 . . . . 5 ((𝐺𝐼) / 𝑔𝑋:𝐵𝐵 → ((𝐺𝐼) / 𝑔𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = (𝐺𝐼) / 𝑔𝑋)
3835, 36, 373syl 18 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ ((𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐼)) ∧ 𝑗𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺𝐼))))) → ((𝐺𝐼) / 𝑔𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = (𝐺𝐼) / 𝑔𝑋)
3927, 38eqtr2d 2857 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ ((𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐼)) ∧ 𝑗𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺𝐼))))) → (𝐺𝐼) / 𝑔𝑋 = ((𝐺𝐼) / 𝑔𝑋 ∘ (𝑗 / 𝑔𝑋𝑗 / 𝑔𝑋)))
40 coass 6112 . . 3 (((𝐺𝐼) / 𝑔𝑋𝑗 / 𝑔𝑋) ∘ 𝑗 / 𝑔𝑋) = ((𝐺𝐼) / 𝑔𝑋 ∘ (𝑗 / 𝑔𝑋𝑗 / 𝑔𝑋))
4139, 40syl6eqr 2874 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ ((𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐼)) ∧ 𝑗𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺𝐼))))) → (𝐺𝐼) / 𝑔𝑋 = (((𝐺𝐼) / 𝑔𝑋𝑗 / 𝑔𝑋) ∘ 𝑗 / 𝑔𝑋))
4210, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20cdlemk54 37976 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ ((𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐼)) ∧ 𝑗𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺𝐼))))) → ((𝐺𝐼) / 𝑔𝑋𝑗 / 𝑔𝑋) = ((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋) ∘ 𝑗 / 𝑔𝑋))
4342coeq1d 5726 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ ((𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐼)) ∧ 𝑗𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺𝐼))))) → (((𝐺𝐼) / 𝑔𝑋𝑗 / 𝑔𝑋) ∘ 𝑗 / 𝑔𝑋) = (((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋) ∘ 𝑗 / 𝑔𝑋) ∘ 𝑗 / 𝑔𝑋))
44 coass 6112 . . . 4 (((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋) ∘ 𝑗 / 𝑔𝑋) ∘ 𝑗 / 𝑔𝑋) = ((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋) ∘ (𝑗 / 𝑔𝑋𝑗 / 𝑔𝑋))
4526coeq2d 5727 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ ((𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐼)) ∧ 𝑗𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺𝐼))))) → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋) ∘ (𝑗 / 𝑔𝑋𝑗 / 𝑔𝑋)) = ((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋) ∘ ( I ↾ 𝐵)))
4610, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20cdlemk35s-id 37956 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝐺𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → 𝐺 / 𝑔𝑋𝑇)
471, 4, 28, 6, 9, 46syl131anc 1375 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ ((𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐼)) ∧ 𝑗𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺𝐼))))) → 𝐺 / 𝑔𝑋𝑇)
4810, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20cdlemk35s-id 37956 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝐼𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → 𝐼 / 𝑔𝑋𝑇)
491, 4, 29, 6, 9, 48syl131anc 1375 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ ((𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐼)) ∧ 𝑗𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺𝐼))))) → 𝐼 / 𝑔𝑋𝑇)
5015, 16ltrnco 37737 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺 / 𝑔𝑋𝑇𝐼 / 𝑔𝑋𝑇) → (𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋) ∈ 𝑇)
511, 47, 49, 50syl3anc 1363 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ ((𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐼)) ∧ 𝑗𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺𝐼))))) → (𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋) ∈ 𝑇)
5210, 15, 16ltrn1o 37142 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋) ∈ 𝑇) → (𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋):𝐵1-1-onto𝐵)
531, 51, 52syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ ((𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐼)) ∧ 𝑗𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺𝐼))))) → (𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋):𝐵1-1-onto𝐵)
54 f1of 6609 . . . . . 6 ((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋):𝐵1-1-onto𝐵 → (𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋):𝐵𝐵)
55 fcoi1 6546 . . . . . 6 ((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋):𝐵𝐵 → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = (𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋))
5653, 54, 553syl 18 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ ((𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐼)) ∧ 𝑗𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺𝐼))))) → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = (𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋))
5745, 56eqtrd 2856 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ ((𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐼)) ∧ 𝑗𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺𝐼))))) → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋) ∘ (𝑗 / 𝑔𝑋𝑗 / 𝑔𝑋)) = (𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋))
5844, 57syl5eq 2868 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ ((𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐼)) ∧ 𝑗𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺𝐼))))) → (((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋) ∘ 𝑗 / 𝑔𝑋) ∘ 𝑗 / 𝑔𝑋) = (𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋))
5943, 58eqtrd 2856 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ ((𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐼)) ∧ 𝑗𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺𝐼))))) → (((𝐺𝐼) / 𝑔𝑋𝑗 / 𝑔𝑋) ∘ 𝑗 / 𝑔𝑋) = (𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋))
6041, 59eqtrd 2856 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ ((𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐼)) ∧ 𝑗𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺𝐼))))) → (𝐺𝐼) / 𝑔𝑋 = (𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3016  wral 3138  csb 3882   class class class wbr 5058   I cid 5453  ccnv 5548  cres 5551  ccom 5553  wf 6345  1-1-ontowf1o 6348  cfv 6349  crio 7102  (class class class)co 7145  Basecbs 16473  lecple 16562  joincjn 17544  meetcmee 17545  Atomscatm 36281  HLchlt 36368  LHypclh 37002  LTrncltrn 37119  trLctrl 37176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-riotaBAD 35971
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-undef 7930  df-map 8398  df-proset 17528  df-poset 17546  df-plt 17558  df-lub 17574  df-glb 17575  df-join 17576  df-meet 17577  df-p0 17639  df-p1 17640  df-lat 17646  df-clat 17708  df-oposet 36194  df-ol 36196  df-oml 36197  df-covers 36284  df-ats 36285  df-atl 36316  df-cvlat 36340  df-hlat 36369  df-llines 36516  df-lplanes 36517  df-lvols 36518  df-lines 36519  df-psubsp 36521  df-pmap 36522  df-padd 36814  df-lhyp 37006  df-laut 37007  df-ldil 37122  df-ltrn 37123  df-trl 37177
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