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Theorem cdlemk7 36453
 Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Line 5, p. 119. (Contributed by NM, 27-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk.l = (le‘𝐾)
cdlemk.j = (join‘𝐾)
cdlemk.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.m = (meet‘𝐾)
cdlemk.s 𝑆 = (𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))
cdlemk.v 𝑉 = (((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑅‘(𝑋𝐹))))
Assertion
Ref Expression
cdlemk7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑆𝐺)‘𝑃) (((𝑆𝑋)‘𝑃) 𝑉))
Distinct variable groups:   ,𝑓   ,𝑓   𝑓,𝐹,𝑖   𝑓,𝐺,𝑖   𝑓,𝑁   𝑃,𝑓   𝑅,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊   ,𝑖   ,𝑖   ,𝑖   𝐴,𝑖   𝑖,𝐹   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖   𝑅,𝑖   𝑇,𝑖   𝑖,𝑊   𝑓,𝑋,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑓,𝑖)   𝑆(𝑓,𝑖)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   (𝑓)   𝑉(𝑓,𝑖)

Proof of Theorem cdlemk7
StepHypRef Expression
1 simp1 1081 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇))
2 simp2 1082 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)))
3 simp311 1228 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
4 simp312 1229 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
5 simp32 1118 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))
6 simp33 1119 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))
75, 6jca 553 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)))
8 cdlemk.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
9 cdlemk.l . . . 4 = (le‘𝐾)
10 cdlemk.j . . . 4 = (join‘𝐾)
11 cdlemk.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
12 cdlemk.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
13 cdlemk.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14 cdlemk.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
15 cdlemk.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
168, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15cdlemk6 36442 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)))) → ((𝑃 (𝐺𝑃)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ((((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑅‘(𝑋𝐹)))) (((𝑋𝑃) 𝑃) ((𝑅‘(𝑋𝐹)) (𝑁𝑃)))))
171, 2, 3, 4, 7, 16syl113anc 1378 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑃 (𝐺𝑃)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ((((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑅‘(𝑋𝐹)))) (((𝑋𝑃) 𝑃) ((𝑅‘(𝑋𝐹)) (𝑁𝑃)))))
18 simp21l 1198 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝑁𝑇)
19 simp22 1115 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
20 simp23 1116 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))
2118, 19, 203jca 1261 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)))
22 cdlemk.s . . . . 5 𝑆 = (𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))
238, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 22cdlemksv2 36452 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑆𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
241, 21, 3, 4, 5, 23syl113anc 1378 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑆𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
25 simp11 1111 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
26 simp13 1113 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐺𝑇)
279, 10, 11, 12, 13, 14trljat1 35771 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 (𝑅𝐺)) = (𝑃 (𝐺𝑃)))
2825, 26, 19, 27syl3anc 1366 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑃 (𝑅𝐺)) = (𝑃 (𝐺𝑃)))
2928oveq1d 6705 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
3024, 29eqtrd 2685 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑆𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
31 simp11l 1192 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐾 ∈ HL)
32 hllat 34968 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
3331, 32syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐾 ∈ Lat)
34 simp12 1112 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐹𝑇)
35 simp21r 1199 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝑋𝑇)
3625, 34, 353jca 1261 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑋𝑇))
37 simp313 1230 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))
388, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 22cdlemksat 36451 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑆𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐴)
3936, 21, 3, 37, 6, 38syl113anc 1378 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑆𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐴)
408, 11atbase 34894 . . . . 5 (((𝑆𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐴 → ((𝑆𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐵)
4139, 40syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑆𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐵)
42 simp11r 1193 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝑊𝐻)
43 simp22l 1200 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝑃𝐴)
44 cdlemk.v . . . . . 6 𝑉 = (((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑅‘(𝑋𝐹))))
458, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 44cdlemkvcl 36447 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → 𝑉𝐵)
4631, 42, 34, 26, 35, 43, 45syl231anc 1386 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝑉𝐵)
478, 10latjcom 17106 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑆𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐵𝑉𝐵) → (((𝑆𝑋)‘𝑃) 𝑉) = (𝑉 ((𝑆𝑋)‘𝑃)))
4833, 41, 46, 47syl3anc 1366 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → (((𝑆𝑋)‘𝑃) 𝑉) = (𝑉 ((𝑆𝑋)‘𝑃)))
4944a1i 11 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝑉 = (((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑅‘(𝑋𝐹)))))
508, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 22cdlemksv2 36452 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑆𝑋)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑋)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐹)))))
5136, 21, 3, 37, 6, 50syl113anc 1378 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑆𝑋)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑋)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐹)))))
529, 10, 11, 12, 13, 14trljat1 35771 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 (𝑅𝑋)) = (𝑃 (𝑋𝑃)))
5325, 35, 19, 52syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑃 (𝑅𝑋)) = (𝑃 (𝑋𝑃)))
549, 11, 12, 13ltrnat 35744 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑇𝑃𝐴) → (𝑋𝑃) ∈ 𝐴)
5525, 35, 43, 54syl3anc 1366 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑋𝑃) ∈ 𝐴)
5610, 11hlatjcom 34972 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑃) ∈ 𝐴𝑃𝐴) → ((𝑋𝑃) 𝑃) = (𝑃 (𝑋𝑃)))
5731, 55, 43, 56syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑋𝑃) 𝑃) = (𝑃 (𝑋𝑃)))
5853, 57eqtr4d 2688 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑃 (𝑅𝑋)) = ((𝑋𝑃) 𝑃))
599, 11, 12, 13ltrnat 35744 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑁𝑇𝑃𝐴) → (𝑁𝑃) ∈ 𝐴)
6025, 18, 43, 59syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑁𝑃) ∈ 𝐴)
6135, 34jca 553 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑋𝑇𝐹𝑇))
6211, 12, 13, 14trlcocnvat 36329 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝑇𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) → (𝑅‘(𝑋𝐹)) ∈ 𝐴)
6325, 61, 6, 62syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅‘(𝑋𝐹)) ∈ 𝐴)
6410, 11hlatjcom 34972 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑁𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘(𝑋𝐹)) ∈ 𝐴) → ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐹))) = ((𝑅‘(𝑋𝐹)) (𝑁𝑃)))
6531, 60, 63, 64syl3anc 1366 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐹))) = ((𝑅‘(𝑋𝐹)) (𝑁𝑃)))
6658, 65oveq12d 6708 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑃 (𝑅𝑋)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐹)))) = (((𝑋𝑃) 𝑃) ((𝑅‘(𝑋𝐹)) (𝑁𝑃))))
6751, 66eqtrd 2685 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑆𝑋)‘𝑃) = (((𝑋𝑃) 𝑃) ((𝑅‘(𝑋𝐹)) (𝑁𝑃))))
6849, 67oveq12d 6708 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑉 ((𝑆𝑋)‘𝑃)) = ((((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑅‘(𝑋𝐹)))) (((𝑋𝑃) 𝑃) ((𝑅‘(𝑋𝐹)) (𝑁𝑃)))))
6948, 68eqtrd 2685 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → (((𝑆𝑋)‘𝑃) 𝑉) = ((((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑅‘(𝑋𝐹)))) (((𝑋𝑃) 𝑃) ((𝑅‘(𝑋𝐹)) (𝑁𝑃)))))
7017, 30, 693brtr4d 4717 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑆𝐺)‘𝑃) (((𝑆𝑋)‘𝑃) 𝑉))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762   I cid 5052  ◡ccnv 5142   ↾ cres 5145   ∘ ccom 5147  ‘cfv 5926  ℩crio 6650  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  lecple 15995  joincjn 16991  meetcmee 16992  Latclat 17092  Atomscatm 34868  HLchlt 34955  LHypclh 35588  LTrncltrn 35705  trLctrl 35763 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-riotaBAD 34557 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-undef 7444  df-map 7901  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-llines 35102  df-lplanes 35103  df-lvols 35104  df-lines 35105  df-psubsp 35107  df-pmap 35108  df-padd 35400  df-lhyp 35592  df-laut 35593  df-ldil 35708  df-ltrn 35709  df-trl 35764 This theorem is referenced by:  cdlemk11  36454
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