Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemk8 36443
 Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 26-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk.l = (le‘𝐾)
cdlemk.j = (join‘𝐾)
cdlemk.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdlemk8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) = ((𝐺𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺))))

Proof of Theorem cdlemk8
StepHypRef Expression
1 coass 5692 . . . . . 6 ((𝑋𝐺) ∘ 𝐺) = (𝑋 ∘ (𝐺𝐺))
2 simp1 1081 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3 simp2l 1107 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐺𝑇)
4 cdlemk.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 cdlemk.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 cdlemk.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
74, 5, 6ltrn1o 35728 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺:𝐵1-1-onto𝐵)
82, 3, 7syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐺:𝐵1-1-onto𝐵)
9 f1ococnv1 6203 . . . . . . . . 9 (𝐺:𝐵1-1-onto𝐵 → (𝐺𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
108, 9syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
1110coeq2d 5317 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑋 ∘ (𝐺𝐺)) = (𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵)))
12 simp2r 1108 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑋𝑇)
134, 5, 6ltrn1o 35728 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑇) → 𝑋:𝐵1-1-onto𝐵)
142, 12, 13syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑋:𝐵1-1-onto𝐵)
15 f1of 6175 . . . . . . . 8 (𝑋:𝐵1-1-onto𝐵𝑋:𝐵𝐵)
16 fcoi1 6116 . . . . . . . 8 (𝑋:𝐵𝐵 → (𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝑋)
1714, 15, 163syl 18 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝑋)
1811, 17eqtrd 2685 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑋 ∘ (𝐺𝐺)) = 𝑋)
191, 18syl5eq 2697 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑋𝐺) ∘ 𝐺) = 𝑋)
2019fveq1d 6231 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝑋𝐺) ∘ 𝐺)‘𝑃) = (𝑋𝑃))
215, 6ltrncnv 35750 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺𝑇)
222, 3, 21syl2anc 694 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐺𝑇)
235, 6ltrnco 36324 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑇𝐺𝑇) → (𝑋𝐺) ∈ 𝑇)
242, 12, 22, 23syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑋𝐺) ∈ 𝑇)
25 simp3l 1109 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃𝐴)
26 cdlemk.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
27 cdlemk.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2826, 27, 5, 6ltrncoval 35749 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋𝐺) ∈ 𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (((𝑋𝐺) ∘ 𝐺)‘𝑃) = ((𝑋𝐺)‘(𝐺𝑃)))
292, 24, 3, 25, 28syl121anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝑋𝐺) ∘ 𝐺)‘𝑃) = ((𝑋𝐺)‘(𝐺𝑃)))
3020, 29eqtr3d 2687 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑋𝑃) = ((𝑋𝐺)‘(𝐺𝑃)))
3130oveq2d 6706 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) = ((𝐺𝑃) ((𝑋𝐺)‘(𝐺𝑃))))
3226, 27, 5, 6ltrnel 35743 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑃) 𝑊))
33323adant2r 1361 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑃) 𝑊))
34 cdlemk.j . . . 4 = (join‘𝐾)
35 cdlemk.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
3626, 34, 27, 5, 6, 35trljat1 35771 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐺) ∈ 𝑇 ∧ ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑃) 𝑊)) → ((𝐺𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺))) = ((𝐺𝑃) ((𝑋𝐺)‘(𝐺𝑃))))
372, 24, 33, 36syl3anc 1366 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺))) = ((𝐺𝑃) ((𝑋𝐺)‘(𝐺𝑃))))
3831, 37eqtr4d 2688 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) = ((𝐺𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   class class class wbr 4685   I cid 5052  ◡ccnv 5142   ↾ cres 5145   ∘ ccom 5147  ⟶wf 5922  –1-1-onto→wf1o 5925  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  lecple 15995  joincjn 16991  meetcmee 16992  Atomscatm 34868  HLchlt 34955  LHypclh 35588  LTrncltrn 35705  trLctrl 35763 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-riotaBAD 34557 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-undef 7444  df-map 7901  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-llines 35102  df-lplanes 35103  df-lvols 35104  df-lines 35105  df-psubsp 35107  df-pmap 35108  df-padd 35400  df-lhyp 35592  df-laut 35593  df-ldil 35708  df-ltrn 35709  df-trl 35764 This theorem is referenced by:  cdlemk9  36444  cdlemk9bN  36445
 Copyright terms: Public domain W3C validator