Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemkid2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemkid2 36631
Description: Lemma for cdlemkid 36643. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l = (le‘𝐾)
cdlemk5.j = (join‘𝐾)
cdlemk5.m = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
cdlemk5.y 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
Assertion
Ref Expression
cdlemkid2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝐺 / 𝑔𝑌 = 𝑃)
Distinct variable groups:   ,𝑔   ,𝑔   𝐵,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑔,𝑏)   𝐵(𝑏)   𝑃(𝑏)   𝑅(𝑏)   𝑇(𝑏)   𝐹(𝑔,𝑏)   𝐺(𝑔,𝑏)   𝐻(𝑔,𝑏)   (𝑏)   𝐾(𝑔,𝑏)   (𝑔,𝑏)   (𝑏)   𝑁(𝑔,𝑏)   𝑊(𝑔,𝑏)   𝑌(𝑔,𝑏)   𝑍(𝑏)

Proof of Theorem cdlemkid2
StepHypRef Expression
1 simp32 1229 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))
21csbeq1d 3646 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝐺 / 𝑔𝑌 = ( I ↾ 𝐵) / 𝑔𝑌)
3 cdlemk5.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
4 cdlemk5.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 cdlemk5.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
63, 4, 5idltrn 35856 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇)
763ad2ant1 1125 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇)
8 cdlemk5.y . . . . 5 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
98cdlemk41 36627 . . . 4 (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇( I ↾ 𝐵) / 𝑔𝑌 = ((𝑃 (𝑅‘( I ↾ 𝐵))) (𝑍 (𝑅‘(( I ↾ 𝐵) ∘ 𝑏)))))
107, 9syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ( I ↾ 𝐵) / 𝑔𝑌 = ((𝑃 (𝑅‘( I ↾ 𝐵))) (𝑍 (𝑅‘(( I ↾ 𝐵) ∘ 𝑏)))))
11 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
12 cdlemk5.r . . . . . . . . 9 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
133, 11, 4, 12trlid0 35883 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑅‘( I ↾ 𝐵)) = (0.‘𝐾))
14133ad2ant1 1125 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅‘( I ↾ 𝐵)) = (0.‘𝐾))
1514oveq2d 6781 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑃 (𝑅‘( I ↾ 𝐵))) = (𝑃 (0.‘𝐾)))
16 simp1l 1216 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝐾 ∈ HL)
17 hlol 35068 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝐾 ∈ OL)
19 simp31l 1333 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑃𝐴)
20 cdlemk5.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
213, 20atbase 34996 . . . . . . . 8 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
2219, 21syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑃𝐵)
23 cdlemk5.j . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
243, 23, 11olj01 34932 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑃𝐵) → (𝑃 (0.‘𝐾)) = 𝑃)
2518, 22, 24syl2anc 696 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑃 (0.‘𝐾)) = 𝑃)
2615, 25eqtrd 2758 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑃 (𝑅‘( I ↾ 𝐵))) = 𝑃)
27 simp1 1128 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
28 simp33l 1337 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑏𝑇)
294, 5ltrncnv 35852 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑏𝑇) → 𝑏𝑇)
3027, 28, 29syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑏𝑇)
313, 4, 5ltrn1o 35830 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑏𝑇) → 𝑏:𝐵1-1-onto𝐵)
3227, 30, 31syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑏:𝐵1-1-onto𝐵)
33 f1of 6250 . . . . . . . . . 10 (𝑏:𝐵1-1-onto𝐵𝑏:𝐵𝐵)
34 fcoi2 6192 . . . . . . . . . 10 (𝑏:𝐵𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝑏) = 𝑏)
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝑏) = 𝑏)
3635fveq2d 6308 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅‘(( I ↾ 𝐵) ∘ 𝑏)) = (𝑅𝑏))
374, 5, 12trlcnv 35872 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑏𝑇) → (𝑅𝑏) = (𝑅𝑏))
3827, 28, 37syl2anc 696 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅𝑏) = (𝑅𝑏))
3936, 38eqtrd 2758 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅‘(( I ↾ 𝐵) ∘ 𝑏)) = (𝑅𝑏))
4039oveq2d 6781 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑍 (𝑅‘(( I ↾ 𝐵) ∘ 𝑏))) = (𝑍 (𝑅𝑏)))
41 simp31 1228 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
42 simp33 1230 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
4341, 42jca 555 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵))))
44 cdlemk5.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
45 cdlemk5.m . . . . . . . 8 = (meet‘𝐾)
46 cdlemk5.z . . . . . . . 8 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
473, 44, 23, 45, 20, 4, 5, 12, 46cdlemkid1 36629 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑍 (𝑅𝑏)) = (𝑃 (𝑅𝑏)))
4843, 47syld3an3 1484 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑍 (𝑅𝑏)) = (𝑃 (𝑅𝑏)))
4940, 48eqtrd 2758 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑍 (𝑅‘(( I ↾ 𝐵) ∘ 𝑏))) = (𝑃 (𝑅𝑏)))
5026, 49oveq12d 6783 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑃 (𝑅‘( I ↾ 𝐵))) (𝑍 (𝑅‘(( I ↾ 𝐵) ∘ 𝑏)))) = (𝑃 (𝑃 (𝑅𝑏))))
51 hllat 35070 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
5216, 51syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝐾 ∈ Lat)
533, 4, 5, 12trlcl 35871 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑏𝑇) → (𝑅𝑏) ∈ 𝐵)
5427, 28, 53syl2anc 696 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅𝑏) ∈ 𝐵)
553, 23, 45latabs2 17210 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵 ∧ (𝑅𝑏) ∈ 𝐵) → (𝑃 (𝑃 (𝑅𝑏))) = 𝑃)
5652, 22, 54, 55syl3anc 1439 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑃 (𝑃 (𝑅𝑏))) = 𝑃)
5750, 56eqtrd 2758 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑃 (𝑅‘( I ↾ 𝐵))) (𝑍 (𝑅‘(( I ↾ 𝐵) ∘ 𝑏)))) = 𝑃)
5810, 57eqtrd 2758 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ( I ↾ 𝐵) / 𝑔𝑌 = 𝑃)
592, 58eqtrd 2758 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝐺 / 𝑔𝑌 = 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896  csb 3639   class class class wbr 4760   I cid 5127  ccnv 5217  cres 5220  ccom 5222  wf 5997  1-1-ontowf1o 6000  cfv 6001  (class class class)co 6765  Basecbs 15980  lecple 16071  joincjn 17066  meetcmee 17067  0.cp0 17159  Latclat 17167  OLcol 34881  Atomscatm 34970  HLchlt 35057  LHypclh 35690  LTrncltrn 35807  trLctrl 35865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-riotaBAD 34659
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-undef 7519  df-map 7976  df-preset 17050  df-poset 17068  df-plt 17080  df-lub 17096  df-glb 17097  df-join 17098  df-meet 17099  df-p0 17161  df-p1 17162  df-lat 17168  df-clat 17230  df-oposet 34883  df-ol 34885  df-oml 34886  df-covers 34973  df-ats 34974  df-atl 35005  df-cvlat 35029  df-hlat 35058  df-llines 35204  df-lplanes 35205  df-lvols 35206  df-lines 35207  df-psubsp 35209  df-pmap 35210  df-padd 35502  df-lhyp 35694  df-laut 35695  df-ldil 35810  df-ltrn 35811  df-trl 35866
This theorem is referenced by:  cdlemkid3N  36640  cdlemkid4  36641
  Copyright terms: Public domain W3C validator