Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemkid3N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemkid3N 36715
Description: Lemma for cdlemkid 36718. (Contributed by NM, 25-Jul-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l = (le‘𝐾)
cdlemk5.j = (join‘𝐾)
cdlemk5.m = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
cdlemk5.y 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
cdlemk5.x 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
Assertion
Ref Expression
cdlemkid3N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) → 𝐺 / 𝑔𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑧𝑃) = 𝑃)))
Distinct variable groups:   ,𝑔   ,𝑔   𝐵,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏,𝐺,𝑧   ,𝑏,𝑧   ,𝑏   𝑧,𝑔,   ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝐺   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑁,𝑏,𝑔,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   𝑊,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝑌   𝐺,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑋(𝑧,𝑔,𝑏)   𝑌(𝑔,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑏)

Proof of Theorem cdlemkid3N
StepHypRef Expression
1 simp3r 1242 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) → 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))
2 cdlemk5.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 cdlemk5.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 cdlemk5.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
52, 3, 4idltrn 35931 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇)
653ad2ant1 1127 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇)
71, 6eqeltrd 2831 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) → 𝐺𝑇)
8 cdlemk5.x . . . . . 6 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
98csbeq2i 4128 . . . . 5 𝐺 / 𝑔𝑋 = 𝐺 / 𝑔(𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
10 csbriota 6778 . . . . . 6 𝐺 / 𝑔(𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌)) = (𝑧𝑇 [𝐺 / 𝑔]𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
1110a1i 11 . . . . 5 (𝐺𝑇𝐺 / 𝑔(𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌)) = (𝑧𝑇 [𝐺 / 𝑔]𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌)))
129, 11syl5eq 2798 . . . 4 (𝐺𝑇𝐺 / 𝑔𝑋 = (𝑧𝑇 [𝐺 / 𝑔]𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌)))
13 sbcralg 3646 . . . . . 6 (𝐺𝑇 → ([𝐺 / 𝑔]𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌) ↔ ∀𝑏𝑇 [𝐺 / 𝑔]((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌)))
14 sbcimg 3610 . . . . . . . 8 (𝐺𝑇 → ([𝐺 / 𝑔]((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌) ↔ ([𝐺 / 𝑔](𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → [𝐺 / 𝑔](𝑧𝑃) = 𝑌)))
15 sbc3an 3627 . . . . . . . . . 10 ([𝐺 / 𝑔](𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) ↔ ([𝐺 / 𝑔]𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ [𝐺 / 𝑔](𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ [𝐺 / 𝑔](𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)))
16 sbcg 3636 . . . . . . . . . . 11 (𝐺𝑇 → ([𝐺 / 𝑔]𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
17 sbcg 3636 . . . . . . . . . . 11 (𝐺𝑇 → ([𝐺 / 𝑔](𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ↔ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹)))
18 sbcne12 4121 . . . . . . . . . . . 12 ([𝐺 / 𝑔](𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔) ↔ 𝐺 / 𝑔(𝑅𝑏) ≠ 𝐺 / 𝑔(𝑅𝑔))
19 csbconstg 3679 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺𝑇𝐺 / 𝑔(𝑅𝑏) = (𝑅𝑏))
20 csbfv 6386 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐺 / 𝑔(𝑅𝑔) = (𝑅𝐺)
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺𝑇𝐺 / 𝑔(𝑅𝑔) = (𝑅𝐺))
2219, 21neeq12d 2985 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺𝑇 → (𝐺 / 𝑔(𝑅𝑏) ≠ 𝐺 / 𝑔(𝑅𝑔) ↔ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))
2318, 22syl5bb 272 . . . . . . . . . . 11 (𝐺𝑇 → ([𝐺 / 𝑔](𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔) ↔ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))
2416, 17, 233anbi123d 1540 . . . . . . . . . 10 (𝐺𝑇 → (([𝐺 / 𝑔]𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ [𝐺 / 𝑔](𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ [𝐺 / 𝑔](𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) ↔ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺))))
2515, 24syl5bb 272 . . . . . . . . 9 (𝐺𝑇 → ([𝐺 / 𝑔](𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) ↔ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺))))
26 sbceq2g 4125 . . . . . . . . 9 (𝐺𝑇 → ([𝐺 / 𝑔](𝑧𝑃) = 𝑌 ↔ (𝑧𝑃) = 𝐺 / 𝑔𝑌))
2725, 26imbi12d 333 . . . . . . . 8 (𝐺𝑇 → (([𝐺 / 𝑔](𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → [𝐺 / 𝑔](𝑧𝑃) = 𝑌) ↔ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑧𝑃) = 𝐺 / 𝑔𝑌)))
2814, 27bitrd 268 . . . . . . 7 (𝐺𝑇 → ([𝐺 / 𝑔]((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌) ↔ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑧𝑃) = 𝐺 / 𝑔𝑌)))
2928ralbidv 3116 . . . . . 6 (𝐺𝑇 → (∀𝑏𝑇 [𝐺 / 𝑔]((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌) ↔ ∀𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑧𝑃) = 𝐺 / 𝑔𝑌)))
3013, 29bitrd 268 . . . . 5 (𝐺𝑇 → ([𝐺 / 𝑔]𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌) ↔ ∀𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑧𝑃) = 𝐺 / 𝑔𝑌)))
3130riotabidv 6768 . . . 4 (𝐺𝑇 → (𝑧𝑇 [𝐺 / 𝑔]𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌)) = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑧𝑃) = 𝐺 / 𝑔𝑌)))
3212, 31eqtrd 2786 . . 3 (𝐺𝑇𝐺 / 𝑔𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑧𝑃) = 𝐺 / 𝑔𝑌)))
337, 32syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) → 𝐺 / 𝑔𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑧𝑃) = 𝐺 / 𝑔𝑌)))
34 simp11 1243 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
35 simp12 1244 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)))
36 simp13l 1370 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
37 simp13r 1371 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))
38 simp2 1131 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑏𝑇)
39 simp31 1249 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵))
4038, 39jca 555 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
41 cdlemk5.l . . . . . . . . 9 = (le‘𝐾)
42 cdlemk5.j . . . . . . . . 9 = (join‘𝐾)
43 cdlemk5.m . . . . . . . . 9 = (meet‘𝐾)
44 cdlemk5.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
45 cdlemk5.r . . . . . . . . 9 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
46 cdlemk5.z . . . . . . . . 9 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
47 cdlemk5.y . . . . . . . . 9 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
482, 41, 42, 43, 44, 3, 4, 45, 46, 47cdlemkid2 36706 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝐺 / 𝑔𝑌 = 𝑃)
4934, 35, 36, 37, 40, 48syl113anc 1485 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐺 / 𝑔𝑌 = 𝑃)
50493expa 1111 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏𝑇) ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐺 / 𝑔𝑌 = 𝑃)
5150eqeq2d 2762 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏𝑇) ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑧𝑃) = 𝐺 / 𝑔𝑌 ↔ (𝑧𝑃) = 𝑃))
5251pm5.74da 725 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏𝑇) → (((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑧𝑃) = 𝐺 / 𝑔𝑌) ↔ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑧𝑃) = 𝑃)))
5352ralbidva 3115 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) → (∀𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑧𝑃) = 𝐺 / 𝑔𝑌) ↔ ∀𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑧𝑃) = 𝑃)))
5453riotabidv 6768 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) → (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑧𝑃) = 𝐺 / 𝑔𝑌)) = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑧𝑃) = 𝑃)))
5533, 54eqtrd 2786 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) → 𝐺 / 𝑔𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑧𝑃) = 𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  wral 3042  [wsbc 3568  csb 3666   class class class wbr 4796   I cid 5165  ccnv 5257  cres 5260  ccom 5262  cfv 6041  crio 6765  (class class class)co 6805  Basecbs 16051  lecple 16142  joincjn 17137  meetcmee 17138  Atomscatm 35045  HLchlt 35132  LHypclh 35765  LTrncltrn 35882  trLctrl 35940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-riotaBAD 34734
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-undef 7560  df-map 8017  df-preset 17121  df-poset 17139  df-plt 17151  df-lub 17167  df-glb 17168  df-join 17169  df-meet 17170  df-p0 17232  df-p1 17233  df-lat 17239  df-clat 17301  df-oposet 34958  df-ol 34960  df-oml 34961  df-covers 35048  df-ats 35049  df-atl 35080  df-cvlat 35104  df-hlat 35133  df-llines 35279  df-lplanes 35280  df-lvols 35281  df-lines 35282  df-psubsp 35284  df-pmap 35285  df-padd 35577  df-lhyp 35769  df-laut 35770  df-ldil 35885  df-ltrn 35886  df-trl 35941
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator