Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleml3N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleml3N 37994
Description: Part of proof of Lemma L of [Crawley] p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleml1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleml1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleml1.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdleml1.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdleml1.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
cdleml3.o 0 = (𝑔𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
cdleml3N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → ∃𝑠𝐸 (𝑠𝑈) = 𝑉)
Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝐾,𝑠   𝑅,𝑠   𝑇,𝑠   𝑈,𝑠   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠,𝑓,𝑔   𝐵,𝑔,𝑠   𝑓,𝐸   𝑓,𝑔,𝐻,𝑠   𝑓,𝐾,𝑔   0 ,𝑓,𝑠   𝑇,𝑓,𝑔   𝑈,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝑊,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   𝑅(𝑓,𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐸(𝑔)   𝑉(𝑔)   0 (𝑔)

Proof of Theorem cdleml3N
StepHypRef Expression
1 simp1 1128 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp2 1129 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇))
3 simp31 1201 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))
4 simp32 1202 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → 𝑈0 )
5 simp21 1198 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → 𝑈𝐸)
6 simp23 1200 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → 𝑓𝑇)
7 cdleml1.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 cdleml1.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9 cdleml1.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10 cdleml1.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
11 cdleml3.o . . . . . . 7 0 = (𝑔𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
127, 8, 9, 10, 11tendoid0 37841 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸 ∧ (𝑓𝑇𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈𝑓) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 0 ))
131, 5, 6, 3, 12syl112anc 1366 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → ((𝑈𝑓) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 0 ))
1413necon3bid 3057 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → ((𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈0 ))
154, 14mpbird 258 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))
16 simp33 1203 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → 𝑉0 )
17 simp22 1199 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → 𝑉𝐸)
187, 8, 9, 10, 11tendoid0 37841 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸 ∧ (𝑓𝑇𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑉𝑓) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑉 = 0 ))
191, 17, 6, 3, 18syl112anc 1366 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → ((𝑉𝑓) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑉 = 0 ))
2019necon3bid 3057 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → ((𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑉0 ))
2116, 20mpbird 258 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))
22 cdleml1.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
237, 8, 9, 22, 10cdleml2N 37993 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ∃𝑠𝐸 (𝑠‘(𝑈𝑓)) = (𝑉𝑓))
241, 2, 3, 15, 21, 23syl113anc 1374 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → ∃𝑠𝐸 (𝑠‘(𝑈𝑓)) = (𝑉𝑓))
25 simpl1 1183 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
26 simpr 485 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸) → 𝑠𝐸)
27 simpl21 1243 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸) → 𝑈𝐸)
28 simpl23 1245 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸) → 𝑓𝑇)
298, 9, 10tendocoval 37782 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑈𝐸) ∧ 𝑓𝑇) → ((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑠‘(𝑈𝑓)))
3025, 26, 27, 28, 29syl121anc 1367 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸) → ((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑠‘(𝑈𝑓)))
3130eqeq1d 2820 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸) → (((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑉𝑓) ↔ (𝑠‘(𝑈𝑓)) = (𝑉𝑓)))
32 simp11 1195 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸 ∧ ((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑉𝑓)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
33 simp2 1129 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸 ∧ ((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑉𝑓)) → 𝑠𝐸)
34 simp121 1297 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸 ∧ ((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑉𝑓)) → 𝑈𝐸)
358, 10tendococl 37788 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑈𝐸) → (𝑠𝑈) ∈ 𝐸)
3632, 33, 34, 35syl3anc 1363 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸 ∧ ((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑉𝑓)) → (𝑠𝑈) ∈ 𝐸)
37 simp122 1298 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸 ∧ ((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑉𝑓)) → 𝑉𝐸)
38 simp3 1130 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸 ∧ ((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑉𝑓)) → ((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑉𝑓))
39 simp123 1299 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸 ∧ ((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑉𝑓)) → 𝑓𝑇)
40 simp131 1300 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸 ∧ ((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑉𝑓)) → 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))
417, 8, 9, 10tendocan 37840 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑠𝑈) ∈ 𝐸𝑉𝐸 ∧ ((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑉𝑓)) ∧ (𝑓𝑇𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑠𝑈) = 𝑉)
4232, 36, 37, 38, 39, 40, 41syl132anc 1380 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸 ∧ ((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑉𝑓)) → (𝑠𝑈) = 𝑉)
43423expia 1113 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸) → (((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑉𝑓) → (𝑠𝑈) = 𝑉))
4431, 43sylbird 261 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸) → ((𝑠‘(𝑈𝑓)) = (𝑉𝑓) → (𝑠𝑈) = 𝑉))
4544reximdva 3271 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → (∃𝑠𝐸 (𝑠‘(𝑈𝑓)) = (𝑉𝑓) → ∃𝑠𝐸 (𝑠𝑈) = 𝑉))
4624, 45mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → ∃𝑠𝐸 (𝑠𝑈) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136  cmpt 5137   I cid 5452  cres 5550  ccom 5552  cfv 6348  Basecbs 16471  HLchlt 36366  LHypclh 37000  LTrncltrn 37117  trLctrl 37174  TEndoctendo 37768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-riotaBAD 35969
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-undef 7928  df-map 8397  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-clat 17706  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-llines 36514  df-lplanes 36515  df-lvols 36516  df-lines 36517  df-psubsp 36519  df-pmap 36520  df-padd 36812  df-lhyp 37004  df-laut 37005  df-ldil 37120  df-ltrn 37121  df-trl 37175  df-tendo 37771
This theorem is referenced by:  cdleml4N  37995
  Copyright terms: Public domain W3C validator