Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemn4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemn4 36006
Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121 line 31. (Contributed by NM, 21-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemn4.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemn4.l = (le‘𝐾)
cdlemn4.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemn4.p 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn4.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemn4.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn4.o 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
cdlemn4.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn4.f 𝐹 = (𝑇 (𝑃) = 𝑄)
cdlemn4.g 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = 𝑅)
cdlemn4.j 𝐽 = (𝑇 (𝑄) = 𝑅)
cdlemn4.s + = (+g𝑈)
Assertion
Ref Expression
cdlemn4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨𝐹, ( I ↾ 𝑇)⟩ +𝐽, 𝑂⟩))
Distinct variable groups:   ,   𝐴,   𝐵,   ,𝐻   ,𝐾   𝑃,   𝑄,   𝑅,   𝑇,   ,𝑊
Allowed substitution hints:   + ()   𝑈()   𝐹()   𝐺()   𝐽()   𝑂()

Proof of Theorem cdlemn4
StepHypRef Expression
1 simp1 1059 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 cdlemn4.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
3 cdlemn4.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 cdlemn4.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 cdlemn4.p . . . . . 6 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
62, 3, 4, 5lhpocnel2 34824 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
71, 6syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
8 simp2 1060 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
9 cdlemn4.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10 cdlemn4.f . . . . 5 𝐹 = (𝑇 (𝑃) = 𝑄)
112, 3, 4, 9, 10ltrniotacl 35386 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → 𝐹𝑇)
121, 7, 8, 11syl3anc 1323 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → 𝐹𝑇)
13 eqid 2621 . . . . 5 ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
144, 9, 13tendoidcl 35576 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
151, 14syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → ( I ↾ 𝑇) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
16 cdlemn4.j . . . 4 𝐽 = (𝑇 (𝑄) = 𝑅)
172, 3, 4, 9, 16ltrniotacl 35386 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → 𝐽𝑇)
18 cdlemn4.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
19 cdlemn4.o . . . . 5 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
2018, 4, 9, 13, 19tendo0cl 35597 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
211, 20syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
22 cdlemn4.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
23 eqid 2621 . . . 4 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
24 cdlemn4.s . . . 4 + = (+g𝑈)
25 eqid 2621 . . . 4 (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (+g‘(Scalar‘𝑈))
264, 9, 13, 22, 23, 24, 25dvhopvadd 35901 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (𝐽𝑇𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (⟨𝐹, ( I ↾ 𝑇)⟩ +𝐽, 𝑂⟩) = ⟨(𝐹𝐽), (( I ↾ 𝑇)(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩)
271, 12, 15, 17, 21, 26syl122anc 1332 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (⟨𝐹, ( I ↾ 𝑇)⟩ +𝐽, 𝑂⟩) = ⟨(𝐹𝐽), (( I ↾ 𝑇)(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩)
284, 9ltrncom 35545 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐽𝑇) → (𝐹𝐽) = (𝐽𝐹))
291, 12, 17, 28syl3anc 1323 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (𝐹𝐽) = (𝐽𝐹))
30 cdlemn4.g . . . . 5 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = 𝑅)
312, 3, 5, 4, 9, 10, 30, 16cdlemn3 36005 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (𝐽𝐹) = 𝐺)
3229, 31eqtrd 2655 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (𝐹𝐽) = 𝐺)
33 eqid 2621 . . . . . . . . 9 ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
344, 33, 22, 23dvhsca 35890 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Scalar‘𝑈) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
3534fveq2d 6162 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))
36 eqid 2621 . . . . . . . 8 (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
3718, 4, 9, 33, 19, 36erng0g 35801 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑂)
3835, 37eqtrd 2655 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (0g‘(Scalar‘𝑈)) = 𝑂)
391, 38syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (0g‘(Scalar‘𝑈)) = 𝑂)
4039oveq2d 6631 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (( I ↾ 𝑇)(+g‘(Scalar‘𝑈))(0g‘(Scalar‘𝑈))) = (( I ↾ 𝑇)(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂))
414, 33erngdv 35800 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ DivRing)
42 drnggrp 18695 . . . . . . . 8 (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ DivRing → ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ Grp)
4341, 42syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ Grp)
4434, 43eqeltrd 2698 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Scalar‘𝑈) ∈ Grp)
451, 44syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (Scalar‘𝑈) ∈ Grp)
46 eqid 2621 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
474, 13, 22, 23, 46dvhbase 35891 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘(Scalar‘𝑈)) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
481, 47syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (Base‘(Scalar‘𝑈)) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
4915, 48eleqtrrd 2701 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → ( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
50 eqid 2621 . . . . . 6 (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
5146, 25, 50grprid 17393 . . . . 5 (((Scalar‘𝑈) ∈ Grp ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) → (( I ↾ 𝑇)(+g‘(Scalar‘𝑈))(0g‘(Scalar‘𝑈))) = ( I ↾ 𝑇))
5245, 49, 51syl2anc 692 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (( I ↾ 𝑇)(+g‘(Scalar‘𝑈))(0g‘(Scalar‘𝑈))) = ( I ↾ 𝑇))
5340, 52eqtr3d 2657 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (( I ↾ 𝑇)(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂) = ( I ↾ 𝑇))
5432, 53opeq12d 4385 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → ⟨(𝐹𝐽), (( I ↾ 𝑇)(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩ = ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩)
5527, 54eqtr2d 2656 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨𝐹, ( I ↾ 𝑇)⟩ +𝐽, 𝑂⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cop 4161   class class class wbr 4623  cmpt 4683   I cid 4994  cres 5086  ccom 5088  cfv 5857  crio 6575  (class class class)co 6615  Basecbs 15800  +gcplusg 15881  Scalarcsca 15884  lecple 15888  occoc 15889  0gc0g 16040  Grpcgrp 17362  DivRingcdr 18687  Atomscatm 34069  HLchlt 34156  LHypclh 34789  LTrncltrn 34906  TEndoctendo 35559  EDRingcedring 35560  DVecHcdvh 35886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-riotaBAD 33758
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-tpos 7312  df-undef 7359  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-0g 16042  df-preset 16868  df-poset 16886  df-plt 16898  df-lub 16914  df-glb 16915  df-join 16916  df-meet 16917  df-p0 16979  df-p1 16980  df-lat 16986  df-clat 17048  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-oppr 18563  df-dvdsr 18581  df-unit 18582  df-invr 18612  df-dvr 18623  df-drng 18689  df-oposet 33982  df-ol 33984  df-oml 33985  df-covers 34072  df-ats 34073  df-atl 34104  df-cvlat 34128  df-hlat 34157  df-llines 34303  df-lplanes 34304  df-lvols 34305  df-lines 34306  df-psubsp 34308  df-pmap 34309  df-padd 34601  df-lhyp 34793  df-laut 34794  df-ldil 34909  df-ltrn 34910  df-trl 34965  df-tendo 35562  df-edring 35564  df-dvech 35887
This theorem is referenced by:  cdlemn4a  36007
  Copyright terms: Public domain W3C validator